Use o método
para encontrar a inversa da matriz, se for invertível, e confira a resposta por multiplicação. Caso não seja invertível, justifique.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a inversa da matriz
A = 3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4
usando o método de Gauss–Jordan que consiste em transformar
l[A mid I3r] ;longrightarrow; l[I3 mid A^-1r]
O conteúdo envolvido é inversão de matrizes e operações elementares de linha.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada com I3:
[ccc|ccc 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Trocamos a linha 1 pela linha 2 para ter pivô 1 em (1,1) e, em seguida, eliminamos abaixo desse pivô:
  • Operação 1: R1rightarrow R2.
  • Operação 2: R2to R2-3R1.
  • Operação 3: R3to R3-2R1.
Fica
[ccc|ccc 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 0 & 4 & -10 & 1 & -3 & 0 0 & 5 & -10 & 0 & -2 & 1 ]

Passo 4

Normalizamos a linha 2 para pivô 1 e zeramos a coluna 2 abaixo:
  • Operação 4: R2to tfrac14 R2.
  • Operação 5: R3to R3-5R2.
O resultado é
[ccc|ccc 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -tfrac52 & tfrac14 & -tfrac34 & 0 0 & 0 & tfrac52 & -tfrac54 & tfrac74 & 1 ]

Passo 5

Normalizamos a linha 3 para pivô 1 e zeramos a coluna 3 acima:
  • Operação 6: R3to tfrac25R3.
  • Operação 7: R1to R1-3R3.
  • Operação 8: R2to R2+tfrac52,R3.
Agora o lado esquerdo é I3 e o direito é A^-1:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac32 & -tfrac1110 & -tfrac65 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & tfrac710 & tfrac25 ]

Passo 6

Conferimos por multiplicação que A,A^-1=I3. Por exemplo, a primeira coluna de A^-1 é l(tfrac32,-1,-tfrac12r)^T e
Atfrac32-1-tfrac12 = 3cdottfrac32+4cdot(-1)+(-1)cdot(-tfrac12) 1cdottfrac32+0cdot(-1)+3cdot(-tfrac12) 2cdottfrac32+5cdot(-1)+(-4)cdot(-tfrac12) =100,
e o mesmo vale para as outras colunas, confirmando A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac32 & -tfrac1110 & -tfrac65[6pt] -1 & 1 & 1[6pt] -tfrac12 & tfrac710 & tfrac25 ]

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