Use o método
para encontrar a inversa da matriz, se for invertível, e confira a resposta por multiplicação. Caso não seja invertível, justifique.

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0
usando o método da matriz aumentada l[Amid I3r]to l[I3mid A^-1r]. Vamos aplicar eliminação de Gauss (operações elementares de linha) para transformar o bloco esquerdo em I3.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Fazemos a eliminação para obter um sistema triangular superior no bloco esquerdo. Primeiro zeramos o 1 em posição (3,1) subtraindo a linha 1 da linha 3, e em seguida zeramos o 1 em (3,2) subtraindo a nova linha 2 da nova linha 3:
rcl R3 &>=ts& R3 - R1 R3 &>=ts& R3 - R2 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 ]

Passo 4

Normalizamos o pivô da terceira linha dividindo R3 por -2:
R3>=ts -12,R3 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 ]

Passo 5

Agora eliminamos as entradas acima do pivô 1 em (3,3). Subtraímos a linha 3 de R1 e de R2:
rcl R1 &>=ts& R1 - R3, R2 &>=ts& R2 - R3 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & 0 & -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 0 & 0 & 1 & tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 ]

Passo 6

Agora o bloco esquerdo é I3 e o bloco direito é exatamente A^-1. Logo,
A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

Passo 7

Para conferir, multiplicamos A por A^-1:
A,A^-1 = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 =I3,
confirmando que está correta.

Resposta

A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

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