Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
I=integral arctan (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral arctan(3x),dx
usando o método de integração por partes. Neste método, escolhemos duas partes da integranda, u e dv, de modo que du e v fiquem simples de manipular.

Passo 2

Escolhemos
u = arctan(3x), dv = dx
Então calculamos du e v:
Como ddxl(arctan(3x)r) = 31+(3x)^2, temos
du = 31+9x^2,dx, v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
integral u,dv = u,v - integral v,du,
obtemos
I = xarctan(3x) ;-; integral x cdot 31+9x^2,dx ;=; xarctan(3x) ;-; 3integral x1+9x^2,dx

Passo 4

Para resolver integral x1+9x^2,dx, usamos a substituição
t = 1+9x^2, dt = 18x,dx ;Longrightarrow; x,dx = dt18
Logo,
integral x1+9x^2,dx = integral 1t,dt18 = 118lnl|tr| + C = 118lnl(1+9x^2r) + C
Substituindo na expressão de I e absorvendo a constante, fica
I = xarctan(3x) ;-; 3cdot118ln(1+9x^2) + C = xarctan(3x) ;-; 16lnl(1+9x^2r) + C

Resposta

I = xarctan(3x) ;-; 16lnl(1+9x^2r) + C

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