Verifique se as séries abaixo convergem:
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (série alternante) e, em seguida, checar se há convergência absoluta via Teste da Comparação Limite.
Passo 2
Defina
- Claramente
para todo . - Para ver que
é decrescente, considere a função contínua em
Calculando a derivada,
logo
(e portanto
) é decrescente.
3. O limite é
3. O limite é
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, pelo Teste de Leibniz a série alternante converge.
Passo 3
Para checar convergência absoluta, considere
Use o Teste de Comparação Limite com
bn=1/n :
Como
sum1/n diverge, segue que
sumln(1+1/n) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge, mas condicionalmente (convergência pelo Teste de Leibniz, sem convergência absoluta).