Verifique se as séries abaixo convergem:
sumn=1^infty(-1)^n+1 ln (1+1n)

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1ln!l(1+1nr)
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (série alternante) e, em seguida, checar se há convergência absoluta via Teste da Comparação Limite.

Passo 2

Defina
an = ln!l(1+1nr)
  1. Claramente an>0 para todo n.
  2. Para ver que an é decrescente, considere a função contínua em (0,infty)
f(x)=ln!l(1+1xr)
Calculando a derivada,
f'(x) = -,1x(x+1) < 0,
logo f (e portanto an=f(n)) é decrescente.
3. O limite é
limntoinftyan = limntoinftyln!l(1+tfrac1nr)=ln(1)=0
Como an é positiva, decrescente e tende a zero, pelo Teste de Leibniz a série alternante converge.

Passo 3

Para checar convergência absoluta, considere
sumn=1^infty l|(-1)^n+1anr| =sumn=1^infty ln!l(1+1nr)
Use o Teste de Comparação Limite com bn=1/n:
limntoinftyln!l(1+1nr)1/n = limxto0ln(1+x)x|x=1/n =1
Como sum1/n diverge, segue que sumln(1+1/n) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge, mas condicionalmente (convergência pelo Teste de Leibniz, sem convergência absoluta).

Exercícios relacionados