Use o método de integração por partes para determinar as seguintes integrais
integral sin (t) ln (cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin(t),lnl(cos(t)r),dt
usando o método de integração por partes.
Conteúdo: integração por partes exige escolher funções u e dv de modo que seja fácil calcular du e v, e depois aplicar
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(cos(t)r), dv = sin(t),dt
Então
du = ddtlnl(cos(t)r),dt = -sin(t)cos(t),dt = -tan(t),dt,
v = integral sin(t),dt = -cos(t)
Aplicando integração por partes:
integral sin(t),lnl(cos(t)r),dt = u,v - integral v,du = -cos(t),lnl(cos(t)r) - integral l(-cos(t)r)l(-tan(t)r),dt

Passo 3

No segundo termo,
-integral l(-cos(t)r)l(-tan(t)r),dt = -integral cos(t),tan(t),dt = -integral sin(t),dt = -l(-cos(t)r) = cos(t)
Logo a integral original fica
-cos(t),lnl(cos(t)r) + cos(t) + C =cos(t)l(1 - lnl(cos(t)r)r) + C

Resposta

integral sin(t),lnl(cos(t)r),dt = cos(t)l(1 - lnl(cos(t)r)r) + C

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