Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
A questão pede pra otimizar a função
numa região fechada
. O conteúdo é otimização com restrições, usando o método de multiplicadores de Lagrange pra fronteira e analisando também pontos críticos no interior.
Passo 2
Primeiro a gente checa o interior do disco. Calculamos o gradiente de
:
$$
abla f(x,y) = (2x,,4y).
$$
Igualando a zero: e
, logo o único ponto crítico interior é
, com
.
Igualando a zero:
Passo 3
Agora olhamos a fronteira
e aplicamos Lagrange. Definimos a restrição
cujo gradiente é
$$
abla g(x,y) = (2x,,2y).
(2x,,4y) = \lambda,(2x,,2y).
$$
Passo 4
Das componentes obtemos:
Isso dá dois casos:
- Se
, então . Se , então . Não dá pra ter os dois simultaneamente com . - Logo, um dos dois deve ser zero:
• Caso: da restrição vem ⇒ .
• Caso: da restrição vem ⇒ .
Passo 5
Agora calculamos
nos candidatos:
- Em
: - Em
: - No interior
:
Comparando, o menor valor ée o maior é .
Resposta
O valor mínimo de
é
, atingido em
. O valor máximo de
é
, atingido em
e
.