Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=x^2+2 y^2, x^2+y^2 <= 4

Passo 1

A questão pede pra otimizar a função f(x,y)=x^2+2y^2 numa região fechada x^2+y^2<=4. O conteúdo é otimização com restrições, usando o método de multiplicadores de Lagrange pra fronteira e analisando também pontos críticos no interior.

Passo 2

Primeiro a gente checa o interior do disco. Calculamos o gradiente de f:
$$
abla f(x,y) = (2x,,4y).
$$
Igualando a zero: abla f(x,y) = (2x,,4y) e 2x=0, logo o único ponto crítico interior é 4y=0, com (0,0).

Passo 3

Agora olhamos a fronteira x^2+y^2=4 e aplicamos Lagrange. Definimos a restrição
g(x,y) = x^2 + y^2 - 4 = 0,
cujo gradiente é
$$
abla g(x,y) = (2x,,2y).
abla g(x,y) = (2x,,2y) çãé
(2x,,4y) = \lambda,(2x,,2y).
$$

Passo 4

Das componentes obtemos:
2x = 2lambda x, 4y = 2lambda y
Isso dá dois casos:
  • Se xneq0, então lambda=1. Se yneq0, então lambda=2. Não dá pra ter os dois simultaneamente com x^2+y^2=4.
  • Logo, um dos dois deve ser zero:
    • Caso x=0: da restrição vem y^2=4 y=pm2.
    • Caso y=0: da restrição vem x^2=4 x=pm2.

Passo 5

Agora calculamos f nos candidatos:
  • Em (0,pm2): f=0^2+2cdot(pm2)^2=8
  • Em (pm2,0): f=(pm2)^2+2cdot0^2=4
  • No interior (0,0): f=0
    Comparando, o menor valor é 0 e o maior é 8.

Resposta

O valor mínimo de f é 0, atingido em (0,0). O valor máximo de f é 8, atingido em (0,2) e (0,-2).

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