Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2} ; x y z=1.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Função objetivo f(x,y,z)=x^{2}+4y^{2}+16z^{2}.
  • Restrição x y z = 1.
O que pede:
  • Determinar os valores máximo e mínimo de f sujeitos à restrição x y z=1.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
  • A restrição impõe x\neq0, y\neq0, z\neq0.
  • Procuramos extremos condicionados (máximo e mínimo) sobre a superfície xyz=1.

Passo 2

Explicação do método dos multiplicadores de Lagrange (passo a passo, bem didático).
  • Ideia: para encontrar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y,z)=0, com g(x,y,z)=x y z-1, procuramos pontos onde os gradientes são proporcionais:
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Intuição: no ponto de extremo com restrição, a direção de maior subida/descida de f (dada por \nabla f) deve ser ortogonal à superfície de restrição, e isso equivale a ser paralelo a \nabla g.
  • Procedimento prático:
    1. Definir g(x,y,z)=x y z-1.
    2. Escrever as equações \partial f/\partial x = \lambda \partial g/\partial x, etc., juntamente com a restrição g=0.
    3. Resolver o sistema para x,y,z,\lambda.
    4. Verificar quais soluções dão mínimo, máximo ou nenhum (pode ser necessário raciocínio adicional).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e montar o sistema de Lagrange.
  • Derivadas de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=8y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=32z.
  • Derivadas de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=yz,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=xz,\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=xy.
  • Igualando com \nabla f = \lambda \nabla g obtemos o sistema
\begin{cases} 2x = \lambda\, y z,\\[4pt] 8y = \lambda\, x z,\\[4pt] 32z = \lambda\, x y,\\[4pt] x y z = 1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema dividindo equações para eliminar \lambda e obter relações entre x,y,z.
  • Divida a primeira equação pela segunda:
\frac{2x}{8y}=\frac{\lambda yz}{\lambda xz}\quad\Rightarrow\quad\frac{x}{4y}=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4y^{2}.
Logo
|x|=2|y|.
  • Divida a segunda pela terceira:
\frac{8y}{32z}=\frac{\lambda xz}{\lambda xy}\quad\Rightarrow\quad\frac{y}{4z}=\frac{z}{y}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=4z^{2}.
Logo
|y|=2|z|.
  • Combinando, obtemos
|x|=2|y|=4|z|.

Passo 5

Usar a restrição x y z=1 para determinar as magnitudes absolutas.
  • Das relações acima, escrevendo em termos de |z|:
|y|=2|z|,\qquad |x|=4|z|.
  • Então
|x||y||z|=(4|z|)\cdot(2|z|)\cdot|z|=8|z|^{3}.
  • Pela restrição |x y z|=|1|=1, segue
8|z|^{3}=1\quad\Rightarrow\quad |z|^{3}=\frac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad |z|=\frac{1}{2}.
  • Assim
|z|=\frac{1}{2},\qquad |y|=2|z|=1,\qquad |x|=4|z|=2.

Passo 6

Determinar os sinais compatíveis com x y z=1 e listar os pontos críticos.
  • Para que x y z=1>0 o produto dos sinais de x,y,z deve ser positivo: número de negativos deve ser par (0 ou 2).
  • As combinações possíveis (mantendo as magnitudes encontradas) são:
    1. (x,y,z)=\bigl(2,\,1,\,\tfrac{1}{2}\bigr) (nenhum negativo).
    2. (x,y,z)=\bigl(-2,\,-1,\,\tfrac{1}{2}\bigr) (dois negativos: x e y).
    3. (x,y,z)=\bigl(-2,\,1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr) (dois negativos: x e z).
    4. (x,y,z)=\bigl(2,\,-1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr) (dois negativos: y e z).
  • Calcular f nesses pontos (observe que f depende apenas dos quadrados):
f(2,1,\tfrac{1}{2})=2^{2}+4\cdot1^{2}+16\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}=4+4+16\cdot\tfrac{1}{4}=4+4+4=12.
Como os outros três pontos têm as mesmas magnitudes, em todos f=12.

Passo 7

Mostrar que f=12 é o mínimo global e discutir existência de máximo.
  • Provar que f(x,y,z)\ge 12 para todo (x,y,z) com xyz=1 usando desigualdade AM-GM:
    • Reescreva f como soma de três termos não-negativos:
    f(x,y,z)=x^{2}+(2y)^{2}+(4z)^{2}.
    • Aplicando AM-GM (para três não-negativos A,B,C, tem-se A+B+C\ge3(ABC)^{1/3}) com A=x^{2}, B=(2y)^{2}, C=(4z)^{2}:
    x^{2}+(2y)^{2}+(4z)^{2}\ge 3\bigl(x^{2}\cdot(2y)^{2}\cdot(4z)^{2}\bigr)^{1/3}.
    • Calcular o produto dentro da raiz:
    x^{2}\cdot(2y)^{2}\cdot(4z)^{2}=64\,x^{2}y^{2}z^{2}=64\,(xyz)^{2}.
    • Como xyz=1, segue
    f(x,y,z)\ge 3(64\cdot1^{2})^{1/3}=3\cdot 4=12.
    • A igualdade na AM-GM ocorre quando x^{2}=(2y)^{2}=(4z)^{2}, ou seja exatamente nas relações que encontramos: |x|=2|y|=4|z|. Portanto os pontos críticos listados atingem essa igualdade e dão o menor valor possível f=12. Conclusão: 12 é o mínimo global alcançado nos quatro pontos encontrados.
  • Mostrar que não existe máximo:
    • A superfície xyz=1 é não compacta (os valores de x,y,z podem crescer em magnitude de forma que o produto permaneça 1). Exemplificar uma sequência que faz f\to\infty: tome, por exemplo, x=t, y=\tfrac{1}{t}, z=1. Então x y z = t\cdot\tfrac{1}{t}\cdot1=1 e
    f(t,\tfrac{1}{t},1)=t^{2}+4\cdot \tfrac{1}{t^{2}}+16.Quando t\to\infty, o termo t^{2}\to\infty, logo f\to\infty. Portanto não existe valor máximo finito de f na superfície xyz=1.

Resposta

mínimo: f_{\min}=12 alcançado em \bigl(2,\,1,\,\tfrac{1}{2}\bigr), \bigl(-2,\,-1,\,\tfrac{1}{2}\bigr), \bigl(-2,\,1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(2,\,-1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr).
máximo: não existe ( f é ilimitada superiormente sob a restrição x y z=1 ).

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