Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada. f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2} ; x y z=1.
Passo 1
O enunciado dá:
Função objetivo f(x,y,z)=x^{2}+4y^{2}+16z^{2}.
Restrição x y z = 1.
O que pede:
Determinar os valores máximo e mínimo de f sujeitos à restrição x y z=1.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
A restrição impõe x\neq0, y\neq0, z\neq0.
Procuramos extremos condicionados (máximo e mínimo) sobre a superfície xyz=1.
Passo 2
Explicação do método dos multiplicadores de Lagrange (passo a passo, bem didático).
Ideia: para encontrar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y,z)=0, com g(x,y,z)=x y z-1, procuramos pontos onde os gradientes são proporcionais:
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Intuição: no ponto de extremo com restrição, a direção de maior subida/descida de f (dada por \nabla f) deve ser ortogonal à superfície de restrição, e isso equivale a ser paralelo a \nabla g.
Procedimento prático:
Definir g(x,y,z)=x y z-1.
Escrever as equações \partial f/\partial x = \lambda \partial g/\partial x, etc., juntamente com a restrição g=0.
Resolver o sistema para x,y,z,\lambda.
Verificar quais soluções dão mínimo, máximo ou nenhum (pode ser necessário raciocínio adicional).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e montar o sistema de Lagrange.
A igualdade na AM-GM ocorre quando x^{2}=(2y)^{2}=(4z)^{2}, ou seja exatamente nas relações que encontramos: |x|=2|y|=4|z|. Portanto os pontos críticos listados atingem essa igualdade e dão o menor valor possível f=12. Conclusão: 12 é o mínimo global alcançado nos quatro pontos encontrados.
Mostrar que não existe máximo:
A superfície xyz=1 é não compacta (os valores de x,y,z podem crescer em magnitude de forma que o produto permaneça 1). Exemplificar uma sequência que faz f\to\infty: tome, por exemplo, x=t, y=\tfrac{1}{t}, z=1. Então x y z = t\cdot\tfrac{1}{t}\cdot1=1 e
f(t,\tfrac{1}{t},1)=t^{2}+4\cdot \tfrac{1}{t^{2}}+16.Quando t\to\infty, o termo t^{2}\to\infty, logo f\to\infty. Portanto não existe valor máximo finito de f na superfície xyz=1.
Resposta
mínimo: f_{\min}=12 alcançado em \bigl(2,\,1,\,\tfrac{1}{2}\bigr), \bigl(-2,\,-1,\,\tfrac{1}{2}\bigr), \bigl(-2,\,1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(2,\,-1,\,-\tfrac{1}{2}\bigr).
máximo: não existe ( f é ilimitada superiormente sob a restrição x y z=1 ).