Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada. f(x, y, z)=x y z ; x^{2}+2 y^{2}+4 z^{2}=4.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y,z)=x y z sujeita à restrição
x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4.
Pergunta: determinar os valores máximo e mínimo de f sob essa restrição.
Informações relevantes fornecidas:
A restrição é a superfície dada por \;x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4\;.
A função objetivo é \;f(x,y,z)=x y z\;.
Não há nenhuma outra condição adicional (por exemplo, domínio extra). A superfície dada é compacta (fechada e limitada), logo f atinge máximo e mínimo sobre ela.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática das ferramentas que vamos usar).
Multiplicadores de Lagrange: para maximizar/minimizar f(x,y,z) sujeito a uma restrição g(x,y,z)=0, monta-se a função de Lagrange
Aqui tomamos g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+4z^{2}-4, de modo que a restrição é g=0.
Passo 3
Escrever as equações explícitas do sistema de Lagrange.
Primeiro calculemos os gradientes:
\nabla f=(y z,\; x z,\; x y), \qquad \nabla g=(2x,\;4y,\;8z).
As equações \nabla f=\lambda\nabla g dão o sistema
\begin{cases} y z = 2\lambda x,\\[4pt] x z = 4\lambda y,\\[4pt] x y = 8\lambda z, \end{cases}
junto com a restrição
x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4.]
Passo 4
Analisar o caso em que algum dos pontos coordenados é zero (casos especiais).
Se qualquer uma das variáveis for zero (por exemplo x=0), então f(x,y,z)=x y z=0. Portanto todos os pontos com alguma coordenada zero são candidatos com valor f=0.
Esses pontos são candidatos, mas podem ser máximos, mínimos ou pontos intermediários; precisamos comparar com os candidatos não-nulos. Continuamos procurando soluções com x y z\neq 0.
Passo 5
Resolver o caso x y z\neq 0 (dividindo equações para eliminar \lambda).
Como x,y,z\neq 0, podemos dividir as equações entre si. Dividindo a primeira pela segunda:
(Há combinações de sinais; vamos analisar quais produzem máximos e mínimos.)
Passo 7
Calcular o valor de f nesses pontos (produto) e comparar com o caso zero.
O módulo do produto em qualquer combinação de sinais é o mesmo:
|x y z|=\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{8}{27}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
Podemos simplificar este valor multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.
Assim os pontos encontrados dão f=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9}, o sinal depende do número de coordenadas negativas: produto positivo quando um número par (0 ou 2) de sinais é negativo, produto negativo quando um número ímpar de sinais é negativo.
Comparando com o valor f=0 obtido quando alguma coordenada é zero, vemos que
\frac{2\sqrt{6}}{9}>0,
portanto os valores \pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9} são maiores em módulo que 0. Como a superfície é compacta, esses são de fato o máximo e o mínimo globais.
Passo 8
Concluir quais pontos dão máximo e mínimo (interpretação final e exemplos de pontos).
Valor máximo de f é \dfrac{2\sqrt{6}}{9}. Um exemplo de ponto que alcança esse máximo é