Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y, z)=x y z ; x^{2}+2 y^{2}+4 z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x y z sujeita à restrição
x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4.
Pergunta: determinar os valores máximo e mínimo de f sob essa restrição.
Informações relevantes fornecidas:
  • A restrição é a superfície dada por \;x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4\;.
  • A função objetivo é \;f(x,y,z)=x y z\;.
  • Não há nenhuma outra condição adicional (por exemplo, domínio extra). A superfície dada é compacta (fechada e limitada), logo f atinge máximo e mínimo sobre ela.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática das ferramentas que vamos usar).
  • Multiplicadores de Lagrange: para maximizar/minimizar f(x,y,z) sujeito a uma restrição g(x,y,z)=0, monta-se a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\,g(x,y,z),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. As condições de candidato crítico são as equações
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z) \qquad\text{e}\qquad g(x,y,z)=0.
  • Aqui tomamos g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+4z^{2}-4, de modo que a restrição é g=0.

Passo 3

Escrever as equações explícitas do sistema de Lagrange.
  • Primeiro calculemos os gradientes:
\nabla f=(y z,\; x z,\; x y), \qquad \nabla g=(2x,\;4y,\;8z).
  • As equações \nabla f=\lambda\nabla g dão o sistema
\begin{cases} y z = 2\lambda x,\\[4pt] x z = 4\lambda y,\\[4pt] x y = 8\lambda z, \end{cases}
junto com a restrição
x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4.]

Passo 4

Analisar o caso em que algum dos pontos coordenados é zero (casos especiais).
  • Se qualquer uma das variáveis for zero (por exemplo x=0), então f(x,y,z)=x y z=0. Portanto todos os pontos com alguma coordenada zero são candidatos com valor f=0.
  • Esses pontos são candidatos, mas podem ser máximos, mínimos ou pontos intermediários; precisamos comparar com os candidatos não-nulos. Continuamos procurando soluções com x y z\neq 0.

Passo 5

Resolver o caso x y z\neq 0 (dividindo equações para eliminar \lambda).
  • Como x,y,z\neq 0, podemos dividir as equações entre si. Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{y z}{x z}=\frac{2\lambda x}{4\lambda y} \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{x}{2y},
o que implica
2y^{2}=x^{2}.
  • Dividindo a segunda pela terceira:
\frac{x z}{x y}=\frac{4\lambda y}{8\lambda z} \quad\Rightarrow\quad \frac{z}{y}=\frac{y}{2z},
o que implica
2z^{2}=y^{2}.
  • Assim obtemos as relações entre os quadrados das coordenadas:
x^{2}=2y^{2},\qquad y^{2}=2z^{2}.
Daí x^{2}=4z^{2}. Podemos chamar z^{2}=t com t\ge 0. Então
z^{2}=t,\qquad y^{2}=2t,\qquad x^{2}=4t.

Passo 6

Usar a restrição para determinar t e os valores absolutos de x,y,z.
  • Substituindo na restrição:
x^{2}+2y^{2}+4z^{2}=4t+2(2t)+4t=12t=4.
  • Logo
t=\frac{1}{3}.
  • Portanto
z^{2}=\frac{1}{3},\qquad y^{2}=\frac{2}{3},\qquad x^{2}=\frac{4}{3}.
  • Tomando as raízes (considerando sinais \pm independentes conforme as equações):
x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\qquad y=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\qquad z=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
(Há combinações de sinais; vamos analisar quais produzem máximos e mínimos.)

Passo 7

Calcular o valor de f nesses pontos (produto) e comparar com o caso zero.
  • O módulo do produto em qualquer combinação de sinais é o mesmo:
|x y z|=\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{8}{27}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
  • Podemos simplificar este valor multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.
  • Assim os pontos encontrados dão f=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9}, o sinal depende do número de coordenadas negativas: produto positivo quando um número par (0 ou 2) de sinais é negativo, produto negativo quando um número ímpar de sinais é negativo.
  • Comparando com o valor f=0 obtido quando alguma coordenada é zero, vemos que
\frac{2\sqrt{6}}{9}>0,
portanto os valores \pm\dfrac{2\sqrt{6}}{9} são maiores em módulo que 0. Como a superfície é compacta, esses são de fato o máximo e o mínimo globais.

Passo 8

Concluir quais pontos dão máximo e mínimo (interpretação final e exemplos de pontos).
  • Valor máximo de f é \dfrac{2\sqrt{6}}{9}. Um exemplo de ponto que alcança esse máximo é
\left(x,y,z\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\;\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{\sqrt{3}}\right),
ou qualquer ponto obtido trocando o sinal de duas das coordenadas (manter o produto positivo).
  • Valor mínimo de f é -\dfrac{2\sqrt{6}}{9}. Um exemplo de ponto que alcança esse mínimo é
\left(x,y,z\right)=\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\;\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{\sqrt{3}}\right),
ou qualquer ponto obtido trocando o sinal de apenas uma (ou de todas as três) das coordenadas (manter o produto negativo).

Resposta

Máximo: \dfrac{2\sqrt{6}}{9}
Mínimo: -\dfrac{2\sqrt{6}}{9}

Exercícios relacionados