Use o método de Newton-Raphson para determinar uma raiz real de f(x)=-1+5,5 x-4 x^2+0,5 x^3 usando aproximações iniciais 4,54.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar o método de Newton–Raphson pra achar uma raiz real de
f(x)= -1 ;+;5,5,x ;-;4,x^2 ;+;0,5,x^3
partindo do chute inicial . Isso é conteúdo de métodos numéricos; pra resolver vamos precisar da derivada e da fórmula iterativa do Newton–Raphson.

Passo 2

Teoria rapidinha: o método de Newton aproxima a raiz desenhando a reta tangente ao gráfico de xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn) em cada ponto e vendo onde essa reta cruza o eixo . A fórmula geral é
A gente repete isso enquanto a diferença não ficar bem pequena.

Passo 3

Primeiro, calculamos a derivada de f'(x)=ddxl(-1+5,5x-4x^2+0,5x^3r) =5,5;-;8x;+;1,5x^2 :

Passo 4

Agora vamos aplicar a iteração. Mostro as contas iniciais e depois coloco os resultados que vão “cair” até a gente parar:
  • Para f(x0)approx -11,7045, f'(x0)approx 0,1424 Longrightarrow x1 = 4,54 ;-;-11,70450,1424;approx;86,72 , f(x1)approx 2,95times10^5, f'(x1)approx1,0562times10^4 Longrightarrow x2approx58,79 : x3approx40,11, x4approx27,69, x5approx19,45, x6approx14,01, x7approx10,47, x8approx8,24,
  • Para x9approx6,97, x10approx6,42, x11approx6,308, x12approx6,293 , :
Continuando do mesmo jeito, as aproximações vão caindo até se estabilizar:

Passo 5

Pra parar, a gente define um critério de tolerância, por exemplo
|x12-x11|=|6,293-6,308|approx0,015<0,01,
Note que
então dá pra encerrar aí.

Resposta

A raiz real aproximada obtida é
boxedxapprox 6,293

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