Determine a maior raiz real de f(x)=2 x^3-11,7 x^2+17,7 x-5
Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações, x0=3 ). Observação: certifique-se de desenvolver uma solução que convirja para a raiz.

Passo 1

Então, a gente tem que achar a maior raiz real da função
f(x) = 2x^3 - 11,7x^2 + 17,7x - 5
usando o método de iteração de ponto-fixo com e só três iterações.
Conteúdo: método de ponto-fixo (iterar ), critério de convergência .
O que vamos precisar:
  • Escolher uma forma de que converja para a raiz.
  • Calcular em cada iteração e usar a fórmula de iteração.
  • Verificar que a derivada de em volta da raiz fica com módulo menor que 1.

Passo 2

  1. Definimos g(x) = x - lambda,f(x), em forma de correção de Newton relaxada, por exemplo:
f'(x)=6x^2 -23,4x +17,7,
com xn+1 = xn - 0,1l(2xn^3 -11,7xn^2 +17,7xn -5r) .
2) A condição de convergência local é .
  • Como e para perto da raiz que vamos achar.
Logo, a iteração será

Passo 3

Agora, vamos calcular as duas primeiras iterações:
Para x1 = 3 -0,1l(-3,2r) = 3 +0,32 = 3,32 :
  1. Calcula f(3,32) =2cdot(3,32)^3 -11,7cdot(3,32)^2 +17,7cdot3,32 -5 approx -2,042 .
  2. Itera
x2 = 3,32 -0,1l(-2,042r) = 3,32 +0,2042 = 3,5242
Em seguida, para :
  1. Calcula
  1. Itera

Passo 4

Por fim, para f(3,5242) approx 2cdot(3,5242)^3 -11,7cdot(3,5242)^2 +17,7cdot3,5242 -5 approx -0,416 :
  1. Calcula
x3 = 3,5242 -0,1l(-0,416r) = 3,5242 +0,0416 = 3,5658
  1. Itera

Resposta

Aproximadamente, depois de três iterações o método de ponto-fixo dá a maior raiz real
boxedx approx 3,5658

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