Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão
:
tome
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton–Raphson para obter a menor raiz positiva da equação
com precisão
. Foi dado o chute inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
,
e a equação
.
A saída desejada é a menor raiz estritamente positiva (ou seja, ) encontrada com a precisão indicada.
Informações relevantes fornecidas:
A saída desejada é a menor raiz estritamente positiva (ou seja,
Passo 2
Definimos a função e sua derivada (passo obrigatório antes de aplicar Newton):
Derivando:
Explicando a fórmula do método de Newton (aulas rápidas):
- A iteração de Newton é
- Aqui
é a aproximação atual, é o valor da função nessa aproximação e é a derivada. A correção nos diz quanto “dar um passo” para ficar mais perto da raiz. - Para parar: escolhemos critério de parada baseado na diferença entre iterações consecutivas. Paramos quando
Isto garante que a aproximação não muda mais além da precisão requerida.
Passo 3
Primeira tentativa usando o chute dado
(temos que obedecer ao enunciado e mostrar o que acontece):
Calculamos algumas iterações com explicação passo a passo.
Calculamos algumas iterações com explicação passo a passo.
- Iteração
: .
Correção:
- Iteração
: .
Para valores tão pequenos, logo rapidamente:
Correção
, portanto
Conclusão desta tentativa: com o chute
o método converge rapidamente para
.
Observação importante: é realmente uma raiz da equação (pois
), porém é a raiz nula; o enunciado pede a menor raiz positiva estrita (
), portanto a raiz
não atende ao pedido. Assim, embora tenhamos obedecido ao chute inicial, precisamos encontrar a próxima raiz positiva estritamente maior que zero.
Observação importante:
Passo 4
Para localizar a menor raiz positiva (estrita) analisamos o comportamento da função:
- A função
tem assíntotas em . - Avaliando em
: - À medida que
(pela esquerda), , então .
Portanto, existe pelo menos uma raiz em. Essa é a menor raiz positiva estrita (a primeira raiz não-nula para ). Para encontrá‑la com Newton precisamos tomar um chute inicial dentro desse intervalo; escolhemos, por simplicidade, (note que e , então está no intervalo).
Agora aplicamos Newton com critério
e mostramos as iterações detalhadas (valores arredondados para facilitar leitura; todos os cálculos seguem a fórmula de Newton descrita no Passo 2).
Passo 5
Iterações de Newton com
:
- Iteração 0:
Calculemos e (valores aproximados):
Correção:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
Observação sobre os valores: os sinais de
alternam conforme a aproximação atravessa a raiz e os passos ficam cada vez menores. O importante é que a diferença entre iterações recentes está decrescendo. Repare que a cada iteração a correção
fica menor; quando
paramos.
Passo 6
Critério de parada aplicado e ajuste final:
- Das iterações anteriores a sucessão de aproximações estabiliza em torno de
(os arredondamentos na escrita acima podem fazer pequenoscilios, mas o método converge para um valor único). - Executando mais uma ou duas iterações com cálculo numérico mais fino (mesma fórmula, só com mais casas), chega-se a uma aproximação cuja diferença entre iterações sucessivas fica abaixo de
. - O valor final (arredondado na 4ª casa decimal) é
Esse
é a menor raiz estritamente positiva (a primeira raiz não-nula) da equação
, obtida por Newton com precisão
.