Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de
. Use a aproximação inicial
e itere até erro relativo
. Estime o intervalo de contração.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz da função
usando iteração de ponto fixo simples, com aproximação inicial
, e iterar até que o erro relativo satisfaça
. Também pede que a gente estime um intervalo de contração. Informações dadas e pedidos, listados claramente:
- Função:
. - Queremos resolver
. - Método exigido: iteração de ponto fixo simples.
- Aproximação inicial:
. - Critério de parada: erro relativo
. Note que em fração. - Estimar um intervalo de contração (um intervalo
onde a função de iteração é contração).
Não resolvo nada neste passo, apenas deixei claro o que o problema pede e os dados dados.
Passo 2
Escolher uma forma de escrever a equação como ponto fixo
. Existem várias rearrumações; duas naturais são:
e
Preciso decidir qual usar. Critérios importantes para a convergência do método de ponto fixo: 1)
deve ser bem definida no intervalo considerado; 2)
deve mapear o intervalo em si; 3)
deve ser contração ali, ou seja existe
com
no intervalo.
Vou justificar a escolha:
tem derivada
que, perto de zero, é aproximadamente
— bom se eu quisesse convergir para a raiz trivial
. Porém o enunciado com
pode (e tipicamente) levar ao outro ponto fixo não nulo de interesse (existe uma raiz positiva aproximadamente
). A rearrumação
tem os pontos fixos exatamente as raízes de
e, para a raiz positiva, tende a convergir a ela a partir de
(observação: experimentando rapidamente vê-se que
,
, e após algumas iterações entra-se numa vizinhança da raiz positiva). Portanto escolho
Vou trabalhar com
e mostrar que existe um intervalo
contendo a raiz positiva onde
é contração e
. Depois aplico a iteração com
até atingir a tolerância pedida.
Passo 3
Estudo da derivada e estimativa do intervalo de contração. Para
temos
Para que
seja uma contração em um intervalo
é suficiente que exista
tal que
para todo
.
Observação prática: a raiz positiva está entre
e
(pois
e
), então faz sentido escolher um intervalo em torno dessa região. Tomemos, por exemplo,
Calculamos a máxima de
nesse intervalo. Como
varia em
, a maior magnitude de
em
ocorre em um dos extremos. Avaliando:
Assim, no intervalo
temos
com
. Logo
é uma contração em
com constante de contração estimada
.
Agora verifico que
. Calculo os valores de
nos extremos:
Portanto
. Assim
realmente mapeia
em si. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe uma única raiz fixa (única raiz de
) em
e a iteração
converge para essa raiz sempre que, a partir de algum índice, as iterações entram em
. No nosso caso, com
, numericamente observa-se que
já está dentro de
, portanto a sequência converge para a raiz positiva.
Resumo desta etapa:
-Escolhi .
-Um intervalo de contração estimado é .
-Constante de contração estimada .
-g é contração em e
, logo existe raiz única em
e a iteração converge para ela.
-Escolhi
-Um intervalo de contração estimado é
-Constante de contração estimada
-g é contração em
Passo 4
Descrição do método de iteração e do critério de parada (com explicação didática). A iteração de ponto fixo simples gera a sequência
Explicando as quantidades:
-
é a aproximação da raiz na iteração . - O erro relativo pedido no enunciado é
em fração (ou em percentagem multiplicando por ); o enunciado quer . (Observação: este critério é adequado quando a raiz não é zero; aqui a raiz que perseguimos é a raiz positiva dentro de , portanto o denominador está longe de zero e a definição faz sentido.) - A convergência é linear (porque
no ponto fixo tem módulo ). A razão assintótica de contração é aproximadamente onde é a raiz; pelo estudo em uma estimativa superior é .
Além do cálculo direto das iterações, podemos usar um estimador de erro a priori: para
contração com constante
e qualquer
,
onde
é o ponto fixo. Essa desigualdade permite estimar quantas iterações são necessárias para garantir uma precisão desejada.
Passo 5
Executando as iterações numéricas (mostro várias iterações, de forma didática, explicando cada cálculo). Começo com
e aplico
. Para cada iteração apresento o valor e o erro relativo entre duas iterações consecutivas (tudo em forma decimal aproximada, mantive casas significativas suficientes para o critério pedido).
Cálculos:
Nota didática: aqui calculei
com precisão suficiente para as casas mostradas. Você pode repetir esses passos numa calculadora científica: para cada iteração calcule
e multiplique por
para obter
. Observa-se que a sequência oscila em torno do valor de raiz e a amplitude das oscilações vai diminuindo (convergência linear).]
Passo 6
Cálculo do erro relativo entre iterações e verificação do critério. Defino o erro relativo (em fração) como
Agora calculo
para as últimas iterações (suficientes para ver quando a condição
é satisfeita):
Usando os valores do passo anterior:
Vê-se que
está diminuindo aproximadamente por um fator próximo de
(comportamento linear). A condição pedida é
(em fração). Pelos valores acima, em
temos
que ainda é maior que
. Portanto precisamos continuar iterando até que
caia abaixo de
.
Vou mostrar mais algumas iterações até a condição ser satisfeita.]
Passo 7
Continuo as iterações até atingir o critério. Prosseguindo com a mesma rotina:
Agora calculo os erros relativos correspondentes (apenas os últimos, que nos interessam):
Observe a convergência dos valores de
em percentagem. A condição exigida é
. Note que para comparação direta:
em fração; convertido para percentagem é
. Os valores acima estão expressos em percentagem; por exemplo
(ou seja
em fração). Ainda é ligeiramente maior que
? Atenção à unidade: houve possibilidade de confusão entre fração e percentagem; clarifico:
- Em fração, o limite pedido é
. - Em percentagem, esse limite é
.
Nos meus cálculos acima eu apresenteinumericamente e em percentagem nas linhas. Reescrevendo em fração para :
o que é muito menor que
. Portanto o critério foi atendido. (Resumo: a notação percentual usou “%” nas linhas; quando convertida para fração o
é
, certamente
.)
Portanto, após
iterações (índice final
com
) o critério foi atingido.]
Passo 8
Interpretação final e observações didáticas para a hora da prova:
- Escolha de
: sempre avalie várias rearrumações possíveis; prefira uma que leve à raiz desejada e que permita provar a existência de um intervalo onde . Aqui foi adequada para a raiz positiva. - Estimativa de intervalo de contração: escolher um intervalo que contenha a raiz e verificar (i) que
e (ii) que . Eu usei e calculei . Na prova, escreva estes cálculos com as aproximações de e necessárias. - Critério de parada: atenção à definição de erro relativo (usar fração ou percentagem de forma consistente). Se a raiz que se busca for muito próxima de zero, prefira um critério de erro absoluto; mas aqui a raiz positiva é longe de zero, então o erro relativo baseado em
é apropriado. - Para estimar número de iterações necessárias sem calcular toda a sequência, pode usar a desigualdade a priori com a constante
; isso é útil para garantir que um certo número de iterações será suficiente.
Resposta
1{,}8973900527 (aproximação da raiz positiva de
, obtida por iteração de ponto fixo com
; critério
atingido perto de
).