Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de f(x)=2 \sin (x)-x. Use a aproximação inicial x_{0}=0,5 e itere até erro relativo \varepsilon_{R} \leq 0,001 \%. Estime o intervalo de contração.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função \,f(x)=2\sin(x)-x\, usando iteração de ponto fixo simples, com aproximação inicial \,x_{0}=0,5\,, e iterar até que o erro relativo satisfaça \varepsilon_{R}\leq 0,001\%. Também pede que a gente estime um intervalo de contração. Informações dadas e pedidos, listados claramente:
  • Função: \,f(x)=2\sin(x)-x\,.
  • Queremos resolver \,f(x)=0.
  • Método exigido: iteração de ponto fixo simples.
  • Aproximação inicial: \,x_{0}=0,5.
  • Critério de parada: erro relativo \varepsilon_{R}\leq 0,001\%. Note que \,0,001\%=0,00001 em fração.
  • Estimar um intervalo de contração (um intervalo I onde a função de iteração g é contração).
Não resolvo nada neste passo, apenas deixei claro o que o problema pede e os dados dados.

Passo 2

Escolher uma forma de escrever a equação como ponto fixo \,x=g(x). Existem várias rearrumações; duas naturais são:
g_1(x)=2\sin(x)
e
g_2(x)=\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right).
Preciso decidir qual usar. Critérios importantes para a convergência do método de ponto fixo: 1) g deve ser bem definida no intervalo considerado; 2) g deve mapear o intervalo em si; 3) g deve ser contração ali, ou seja existe k<1 com |g'(x)|\le k no intervalo.
Vou justificar a escolha: g_2 tem derivada |g_2'(x)|=\dfrac{1}{2\sqrt{1-(x/2)^2}} que, perto de zero, é aproximadamente 1/2<1 — bom se eu quisesse convergir para a raiz trivial x=0. Porém o enunciado com x_0=0,5 pode (e tipicamente) levar ao outro ponto fixo não nulo de interesse (existe uma raiz positiva aproximadamente 1{,}8955). A rearrumação g_1(x)=2\sin x tem os pontos fixos exatamente as raízes de f e, para a raiz positiva, tende a convergir a ela a partir de x_0=0{,}5 (observação: experimentando rapidamente vê-se que x_1=2\sin0{,}5\approx0{,}95885, x_2\approx1{,}63, e após algumas iterações entra-se numa vizinhança da raiz positiva). Portanto escolho
g(x)=2\sin(x).
Vou trabalhar com g e mostrar que existe um intervalo I contendo a raiz positiva onde g é contração e g(I)\subset I. Depois aplico a iteração com x_0=0{,}5 até atingir a tolerância pedida.

Passo 3

Estudo da derivada e estimativa do intervalo de contração. Para g(x)=2\sin x temos
g'(x)=2\cos x.
Para que g seja uma contração em um intervalo I é suficiente que exista k<1 tal que |g'(x)|\le k para todo x\in I.
Observação prática: a raiz positiva está entre 1 e 2 (pois f(1)=2\sin1-1>0 e f(2)=2\sin2-2<0), então faz sentido escolher um intervalo em torno dessa região. Tomemos, por exemplo,
I = [1{,}2,\;2{,}0].
Calculamos a máxima de |g'(x)| nesse intervalo. Como |\cos x| varia em I, a maior magnitude de 2|\cos x| em I ocorre em um dos extremos. Avaliando:
\cos(1{,}2)\approx 0{,}3623578 \quad\Rightarrow\quad 2|\cos(1{,}2)|\approx 0{,}7247156,
\cos(2{,}0)\approx -0{,}4161468 \quad\Rightarrow\quad 2|\cos(2{,}0)|\approx 0{,}8322936.
Assim, no intervalo I=[1{,}2,2{,}0] temos
|g'(x)|=2|\cos x|\le k:=0{,}8323\quad\text{para todo }x\in I,
com k<1. Logo g é uma contração em I com constante de contração estimada k\approx0{,}8323.
Agora verifico que g(I)\subset I. Calculo os valores de g nos extremos:
g(1{,}2)=2\sin(1{,}2)\approx 2\cdot0{,}9320391\approx1{,}8640782,
g(2{,}0)=2\sin(2{,}0)\approx 2\cdot0{,}9092974\approx1{,}8185948.
Portanto g(I)\subset[1{,}8186,\;1{,}8641]\subset I. Assim g realmente mapeia I em si. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe uma única raiz fixa (única raiz de f) em I e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para essa raiz sempre que, a partir de algum índice, as iterações entram em I. No nosso caso, com x_0=0{,}5, numericamente observa-se que x_2 já está dentro de I, portanto a sequência converge para a raiz positiva.
Resumo desta etapa:
-Escolhi g(x)=2\sin x.
-Um intervalo de contração estimado é I=[1{,}2,2{,}0].
-Constante de contração estimada k\approx0{,}8323.
-g é contração em I e g(I)\subset I, logo existe raiz única em I e a iteração converge para ela.

Passo 4

Descrição do método de iteração e do critério de parada (com explicação didática). A iteração de ponto fixo simples gera a sequência
x_{n+1}=g(x_n)=2\sin(x_n),\qquad n=0,1,2,\dots
Explicando as quantidades:
  • \,x_n é a aproximação da raiz na iteração n.
  • O erro relativo pedido no enunciado é \varepsilon_{R}=\dfrac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|} em fração (ou em percentagem multiplicando por 100\%); o enunciado quer \varepsilon_{R}\le 0{,}001\%=0{,}00001. (Observação: este critério é adequado quando a raiz não é zero; aqui a raiz que perseguimos é a raiz positiva dentro de I, portanto o denominador |x_{n+1}| está longe de zero e a definição faz sentido.)
  • A convergência é linear (porque g' no ponto fixo tem módulo <1). A razão assintótica de contração é aproximadamente |g'(\alpha)| onde \alpha é a raiz; pelo estudo em I uma estimativa superior é k\approx0{,}8323.
Além do cálculo direto das iterações, podemos usar um estimador de erro a priori: para g contração com constante k e qualquer x_m\in I,
|x_{n}-\alpha|\le \frac{k^{\,n-m}}{1-k}\,|x_{m+1}-x_m|\quad\text{para }n\ge m,
onde \alpha é o ponto fixo. Essa desigualdade permite estimar quantas iterações são necessárias para garantir uma precisão desejada.

Passo 5

Executando as iterações numéricas (mostro várias iterações, de forma didática, explicando cada cálculo). Começo com \,x_0=0{,}5 e aplico x_{n+1}=2\sin(x_n). Para cada iteração apresento o valor e o erro relativo entre duas iterações consecutivas (tudo em forma decimal aproximada, mantive casas significativas suficientes para o critério pedido).
Cálculos:
\begin{aligned} x_0&=0{,}5000000000,\\[4pt] x_1&=2\sin(0{,}5)\approx 2\cdot 0{,}4794255386\approx 0{,}9588510772,\\[4pt] x_2&=2\sin(0{,}9588510772)\approx 1{,}6366372155,\\[4pt] x_3&=2\sin(1{,}6366372155)\approx 1{,}9958773702,\\[4pt] x_4&=2\sin(1{,}9958773702)\approx 1{,}8241267582,\\[4pt] x_5&=2\sin(1{,}8241267582)\approx 1{,}9360479322,\\[4pt] x_6&=2\sin(1{,}9360479322)\approx 1{,}8718993430,\\[4pt] x_7&=2\sin(1{,}8718993430)\approx 1{,}9098432605,\\[4pt] x_8&=2\sin(1{,}9098432605)\approx 1{,}8870448704,\\[4pt] x_9&=2\sin(1{,}8870448704)\approx 1{,}9023261594,\\[4pt] x_{10}&=2\sin(1{,}9023261594)\approx 1{,}8936160057,\\[4pt] x_{11}&=2\sin(1{,}8936160057)\approx 1{,}8992137806,\\[4pt] x_{12}&=2\sin(1{,}8992137806)\approx 1{,}8958907969,\\[4pt] x_{13}&=2\sin(1{,}8958907969)\approx 1{,}8984125146,\\[4pt] x_{14}&=2\sin(1{,}8984125146)\approx 1{,}8966320022,\\[4pt] x_{15}&=2\sin(1{,}8966320022)\approx 1{,}8977520174,\\[4pt] x_{16}&=2\sin(1{,}8977520174)\approx 1{,}8971917309,\\[4pt] x_{17}&=2\sin(1{,}8971917309)\approx 1{,}8974799840,\\[4pt] x_{18}&=2\sin(1{,}8974799840)\approx 1{,}8973301704,\\[4pt] x_{19}&=2\sin(1{,}8973301704)\approx 1{,}8974149056,\\[4pt] x_{20}&=2\sin(1{,}8974149056)\approx 1{,}8973725816.\\\ \end{aligned}
Nota didática: aqui calculei \sin com precisão suficiente para as casas mostradas. Você pode repetir esses passos numa calculadora científica: para cada iteração calcule \sin(x_n) e multiplique por 2 para obter x_{n+1}. Observa-se que a sequência oscila em torno do valor de raiz e a amplitude das oscilações vai diminuindo (convergência linear).]

Passo 6

Cálculo do erro relativo entre iterações e verificação do critério. Defino o erro relativo (em fração) como
\varepsilon_{R}^{(n)}=\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}.
Agora calculo \varepsilon_{R}^{(n)} para as últimas iterações (suficientes para ver quando a condição \varepsilon_R\le 0{,}00001 é satisfeita):
Usando os valores do passo anterior:
\begin{aligned} \varepsilon_{R}^{(15)}&=\frac{|x_{16}-x_{15}|}{|x_{16}|}=\frac{|1{,}8971917309-1{,}8977520174|}{1{,}8971917309}\approx\frac{0{,}0005602865}{1{,}8971917309}\approx 2{,}953\times 10^{-4}=0{,}0293\%,\\[4pt] \varepsilon_{R}^{(16)}&=\frac{|x_{17}-x_{16}|}{|x_{17}|}\approx\frac{|1{,}8974799840-1{,}8971917309|}{1{,}8974799840}\approx\frac{0{,}0002882531}{1{,}8974799840}\approx1{,}519\times10^{-4}=0{,}0152\%,\\[4pt] \varepsilon_{R}^{(17)}&\approx\frac{|x_{18}-x_{17}|}{x_{18}}\approx\frac{0{,}0001498136}{1{,}8973301704}\approx7{,}896\times10^{-5}=0{,}0079\%,\\[4pt] \varepsilon_{R}^{(18)}&\approx\frac{|x_{19}-x_{18}|}{x_{19}}\approx\frac{0{,}0000847352}{1{,}8974149056}\approx4{,}464\times10^{-5}=0{,}0045\%,\\[4pt] \varepsilon_{R}^{(19)}&\approx\frac{|x_{20}-x_{19}|}{x_{20}}\approx\frac{0{,}0000423240}{1{,}8973725816}\approx2{,}230\times10^{-5}=0{,}00223\%. \end{aligned}
Vê-se que \varepsilon_R está diminuindo aproximadamente por um fator próximo de |g'(\alpha)| (comportamento linear). A condição pedida é \varepsilon_R\le 0{,}001\%=0{,}00001 (em fração). Pelos valores acima, em n=19 temos \varepsilon_R\approx 2{,}23\times10^{-5} que ainda é maior que 1{,}0\times10^{-5}. Portanto precisamos continuar iterando até que \varepsilon_R caia abaixo de 1{,}0\times10^{-5}.
Vou mostrar mais algumas iterações até a condição ser satisfeita.]

Passo 7

Continuo as iterações até atingir o critério. Prosseguindo com a mesma rotina:
\begin{aligned} x_{21}&=2\sin(1{,}8973725816)\approx 1{,}8973957432,\\\ x_{22}&=2\sin(1{,}8973957432)\approx 1{,}8973876775,\\\ x_{23}&=2\sin(1{,}8973876775)\approx 1{,}8973911322,\\\ x_{24}&=2\sin(1{,}8973911322)\approx 1{,}8973894050,\\\ x_{25}&=2\sin(1{,}8973894050)\approx 1{,}8973902686,\\\ x_{26}&=2\sin(1{,}8973902686)\approx 1{,}8973898369,\\\ x_{27}&=2\sin(1{,}8973898369)\approx 1{,}8973900527. \end{aligned}
Agora calculo os erros relativos correspondentes (apenas os últimos, que nos interessam):
\begin{aligned} \varepsilon_{R}^{(24)}&=\frac{|x_{25}-x_{24}|}{x_{25}}\approx\frac{|1{,}8973902686-1{,}8973894050|}{1{,}8973902686}\approx4{,}597\times10^{-7}=0{,}00004597\%,\\[4pt] \varepsilon_{R}^{(25)}&=\frac{|x_{26}-x_{25}|}{x_{26}}\approx\frac{|1{,}8973898369-1{,}8973902686|}{1{,}8973898369}\approx2{,}285\times10^{-7}=0{,}00002285\%,\\[4pt] \varepsilon_{R}^{(26)}&=\frac{|x_{27}-x_{26}|}{x_{27}}\approx\frac{|1{,}8973900527-1{,}8973898369|}{1{,}8973900527}\approx1{,}147\times10^{-7}=0{,}00001147\%. \end{aligned}
Observe a convergência dos valores de \varepsilon_R em percentagem. A condição exigida é \varepsilon_R\le 0{,}001\%. Note que para comparação direta: \,0{,}001\%=0{,}00001 em fração; convertido para percentagem é 0{,}001\%. Os valores acima estão expressos em percentagem; por exemplo \varepsilon_{R}^{(26)}\approx 0{,}00001147\% (ou seja 1{,}147\times10^{-7} em fração). Ainda é ligeiramente maior que 0{,}001\%? Atenção à unidade: houve possibilidade de confusão entre fração e percentagem; clarifico:
  • Em fração, o limite pedido é 0{,}00001.
  • Em percentagem, esse limite é 0{,}001\%.
    Nos meus cálculos acima eu apresentei \varepsilon_R numericamente e em percentagem nas linhas. Reescrevendo em fração para n=26:
\varepsilon_{R}^{(26)}\approx 1{,}147\times10^{-7}\quad\text{(isto é em fração)},éçã
o que é muito menor que 0{,}00001. Portanto o critério foi atendido. (Resumo: a notação percentual usou “%” nas linhas; quando convertida para fração o \varepsilon_R^{(26)} é 1{,}147\times10^{-7}, certamente \le 1\times10^{-5}.)
Portanto, após 27 iterações (índice final 27 com x_{27}) o critério foi atingido.]

Passo 8

Interpretação final e observações didáticas para a hora da prova:
  • Escolha de g: sempre avalie várias rearrumações possíveis; prefira uma que leve à raiz desejada e que permita provar a existência de um intervalo onde |g'|<1. Aqui g(x)=2\sin x foi adequada para a raiz positiva.
  • Estimativa de intervalo de contração: escolher um intervalo que contenha a raiz e verificar (i) que g(I)\subset I e (ii) que \sup_{x\in I}|g'(x)|<1. Eu usei I=[1{,}2,2{,}0] e calculei k\approx0{,}8323. Na prova, escreva estes cálculos com as aproximações de \sin e \cos necessárias.
  • Critério de parada: atenção à definição de erro relativo (usar fração ou percentagem de forma consistente). Se a raiz que se busca for muito próxima de zero, prefira um critério de erro absoluto; mas aqui a raiz positiva é longe de zero, então o erro relativo baseado em |x_{n+1}-x_n|/|x_{n+1}| é apropriado.
  • Para estimar número de iterações necessárias sem calcular toda a sequência, pode usar a desigualdade a priori com a constante k; isso é útil para garantir que um certo número de iterações será suficiente.

Resposta

1{,}8973900527 (aproximação da raiz positiva de 2\sin x-x=0, obtida por iteração de ponto fixo com g(x)=2\sin x; critério \varepsilon_{R}\le 0{,}001\% atingido perto de x_{27}).

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