A equação x^{2}-b=0 tem como raiz x=\sqrt{b}. Considere o método do ponto fixo \operatorname{com} \varphi(x)=\frac{b}{x} :
a) Determine o intervalo de convergência;
b) Uso o teorema de convergência para verificar a sequência \left\{x_{k}\right\} tal que x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right) se tomamos x_{0}=2 \sqrt{b}.
c) faça 4 iterações com o x_{0} do item anterior. O que acontece?

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
  • Foi dada a equação x^{2}-b=0, cuja raiz positiva é x=\sqrt{b}.
  • Foi proposto o método do ponto fixo com \varphi(x)=\dfrac{b}{x} e a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k)=\frac{b}{x_k}.
  • Perguntas:
    a) Determinar o intervalo de convergência (isto é, para quais pontos iniciais x_0 a sequência \{x_k\} converge para \sqrt{b}).
    b) Usar o teorema de convergência de ponto fixo (teorema do ponto fixo / contracção) para verificar o comportamento da sequência quando tomamos x_0=2\sqrt{b}.
    c) Fazer 4 iterações com x_0=2\sqrt{b} e dizer o que acontece.
Informações importantes dadas: \varphi(x)=\dfrac{b}{x} e a raiz buscada \sqrt{b}. Tomamos b\ge 0 para que \sqrt{b} seja real (caso b=0 a iteração degeneraria; trabalharemos no caso b>0).

Passo 2

Conceitos úteis (explicados passo a passo):
  • Definição de ponto fixo: um número x^* é ponto fixo de \varphi se
    x^*=\varphi(x^*).
    Aqui, imponer x=\varphi(x)=\dfrac{b}{x} x^2=b, logo os pontos fixos são
    x=\pm\sqrt{b}.
    Em particular a raiz positiva \sqrt{b} é ponto fixo de \varphi.
  • Teorema do ponto fixo (versão de contracção numa intervalo): se existe um intervalo fechado I tal que
    1. \varphi(I)\subset I (a função leva I em si mesma), e
    2. existe L com 0\le L<1 tal que |\varphi'(x)|\le L para todo x\in I,
      então \varphi é contracção em I e, para qualquer x_0\in I, a sequência x_{k+1}=\varphi(x_k) converge ao único ponto fixo de \varphi em I.
  • Regra prática usando derivada: se \varphi é diferenciável, uma maneira de testar a condição 2 é verificar se \sup_{x\in I}|\varphi'(x)|<1.
Agora calculemos a derivada de \varphi:
\varphi'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{b}{x}\right)=-\frac{b}{x^{2}}.
O módulo é
|\varphi'(x)|=\frac{b}{x^{2}}.
Isto é uma fórmula simples: para cada x, |\varphi'(x)| é b dividido por x^2. Para entender onde |\varphi'(x)|<1 resolvemos:
\frac{b}{x^{2}}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}>b \quad\Longleftrightarrow\quad |x|>\sqrt{b}.
Portanto, em valores de x com |x|>\sqrt{b} a derivada tem módulo menor que 1. Isso indica que, pontualmente, longe do ponto fixo a função pode ter comportamento “contrátil”. Porém atenção: o teorema exige que isso ocorra em todo um intervalo invariável I que contenha o ponto fixo; só ter |\varphi'(x_0)|<1 num ponto isolado não garante convergência.

Passo 3

Análise da invariância e tentativa de achar um intervalo I que satisfaça as hipóteses do teorema contendo \sqrt{b}.
Queremos um intervalo I=[\alpha,\beta] com \alpha<\sqrt{b}<\beta tal que \varphi(I)\subset I e \sup_{x\in I}|\varphi'(x)|<1.
  • Primeiro, calcule a imagem de I por \varphi. Para x\in[\alpha,\beta] com \alpha>0,
    \varphi(x)=\frac{b}{x}\in\left[\frac{b}{\beta},\frac{b}{\alpha}\right].
    Para que \varphi(I)\subset I precisamos que
    \frac{b}{\beta}\ge \alpha \quad\text{e}\quad \frac{b}{\alpha}\le \beta.
    Essas duas desigualdades juntas implicam b=\alpha\beta. Ou seja, só existe invariância se \alpha\beta=b: o intervalo tem extremos reciprocamente relacionados. Mas observe que se \alpha<\sqrt{b}<\beta então \alpha\beta<b\cdot 1?? Vamos verificar: se \alpha<\sqrt{b} e \beta>\sqrt{b} então \alpha\beta<\sqrt{b}\cdot\beta e não há garantia; a condição \alpha\beta=b força que um dos extremos seja menor que \sqrt{b} e o outro maior de modo a multiplicarem b. Em particular, qualquer intervalo invariável em torno de \sqrt{b} precisa satisfazer \alpha\beta=b.
  • Segundo, a condição de contracção na forma \sup_{x\in I}|\varphi'(x)|<1 exige que para todo x\in I tenhamos \dfrac{b}{x^{2}}<1, i.e. |x|>\sqrt{b} para todo x\in I. Mas se todo x\in I satisfizer |x|>\sqrt{b}, então \alpha>\sqrt{b} (se I for positivo). Neste caso \alpha\beta>b (porque ambos maiores que \sqrt{b}), contradizendo a necessidade \alpha\beta=b para invariância. Portanto não é possível ter um intervalo fechado I que contenha \sqrt{b}, seja invariável por \varphi e ao mesmo tempo satisfaça \sup_{x\in I}|\varphi'(x)|<1.
Conclusão desta análise: não existe um intervalo aberto (nem fechado) contendo \sqrt{b} em que a função \varphi seja simultaneamente invariável e contracção. Assim, o teorema do ponto fixo na forma padrão não pode ser aplicado para garantir convergência a \sqrt{b} a partir de um intervalo de pontos iniciais ao redor de \sqrt{b}.

Passo 4

Análise direta do comportamento da iteração para qualquer x_0 (identidade de período 2).
Calcule duas iterações seguidas:
x_{k+1}=\frac{b}{x_k},\qquad x_{k+2}=\frac{b}{x_{k+1}}=\frac{b}{\dfrac{b}{x_k}}=x_k.
Portanto vale a identidade fundamental
x_{k+2}=x_k\quad\text{para todo }k.
Isto significa que a sequência \{x_k\} é periódica de período no máximo 2: ou é constante (quando x_{k+1}=x_k desde o começo, i.e. quando x_k já é um ponto fixo) ou ela alterna entre dois valores distintos x_0 e x_1=\dfrac{b}{x_0}.
Assim:
  • A única maneira de a sequência convergir (no sentido usual) é ela ser constante, o que implica x_0=\varphi(x_0), i.e. x_0=\pm\sqrt{b}.
  • Se x_0\neq \pm\sqrt{b} então x_1\neq x_0 e a sequência fica alternando entre dois valores distintos sem convergir.
Isso resolve genericamente a pergunta sobre o conjunto de convergência: apenas os pontos iniciais que já são pontos fixos (ou seja, x_0=\sqrt{b} ou x_0=-\sqrt{b}) produzem convergência; nenhum outro x_0 leva a aproximação de \sqrt{b}.

Passo 5

Aplicação ao caso específico x_0=2\sqrt{b} (item b usando o teorema e o raciocínio anterior):
  • Primeiro verificação da derivada em torno dos pontos envolvidos: para x_0=2\sqrt{b} temos
    |\varphi'(x_0)|=\frac{b}{x_0^{2}}=\frac{b}{(2\sqrt{b})^{2}}=\frac{b}{4b}=\frac{1}{4}<1.
    Isso mostra apenas que no ponto x_0 a derivada tem módulo menor que 1. Porém, como explicado no Passo 3, o teorema exige \sup_{x\in I}|\varphi'(x)|<1 num intervalo I que também seja invariável por \varphi e contenha o ponto fixo; isso não é possível aqui. Portanto o teorema de contracção não pode ser usado para garantir convergência desde x_0=2\sqrt{b}.
  • Pelo raciocínio direto do Passo 4 (identidade x_{k+2}=x_k), tomando x_0=2\sqrt{b} obtemos que a sequência alterna entre x_0 e x_1=\dfrac{b}{x_0} e, salvo se x_0 for já o ponto fixo, não converge. Concluímos que, apesar de |\varphi'(x_0)|<1 num ponto isolado, a sequência com x_0=2\sqrt{b} NÃO converge para \sqrt{b}.

Passo 6

Quatro iterações explícitas com x_0=2\sqrt{b} (item c):
  • Calcule x_1: x_1=\varphi(x_0)=\frac{b}{x_0}=\frac{b}{2\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{2}.
  • Calcule x_2: x_2=\varphi(x_1)=\frac{b}{x_1}=\frac{b}{\sqrt{b}/2}=2\sqrt{b}=x_0.
  • Calcule x_3: x_3=\varphi(x_2)=\varphi(2\sqrt{b})=\frac{\sqrt{b}}{2}=x_1.
  • Calcule x_4: x_4=\varphi(x_3)=\varphi\!\left(\frac{\sqrt{b}}{2}\right)=2\sqrt{b}=x_2.
Logo os quatro primeiros termos são, em ordem:
x_0=2\sqrt{b},\quad x_1=\frac{\sqrt{b}}{2},\quad x_2=2\sqrt{b},\quad x_3=\frac{\sqrt{b}}{2},\quad x_4=2\sqrt{b}.
O que acontece: a sequência entra num ciclo de período 2, alternando entre 2\sqrt{b} e \dfrac{\sqrt{b}}{2}. Por isso ela não converge para \sqrt{b}.

Resposta

a) A iteração converge apenas se o ponto inicial já for um ponto fixo, isto é, somente para x_0=\sqrt{b} (ou x_0=-\sqrt{b} se considerarmos a raiz negativa). Não existe um intervalo aberto contendo \sqrt{b} onde \varphi seja contracção e garanta convergência.
b) O teorema de convergência (contracção) não pode ser aplicado para garantir convergência a partir de x_0=2\sqrt{b}; analisando diretamente a iteração vê‑se que a sequência alterna e NÃO converge para \sqrt{b}.
c) x_0=2\sqrt{b},\;x_1=\dfrac{\sqrt{b}}{2},\;x_2=2\sqrt{b},\;x_3=\dfrac{\sqrt{b}}{2}. A sequência entra num ciclo de período 2 (oscila entre 2\sqrt{b} e \dfrac{\sqrt{b}}{2}) e, portanto, não converge.

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