A equação
tem como raiz
. Considere o método do ponto fixo
:
a) Determine o intervalo de convergência;
b) Uso o teorema de convergência para verificar a sequência
tal que
se tomamos
.
c) faça 4 iterações com o
do item anterior. O que acontece?
a) Determine o intervalo de convergência;
b) Uso o teorema de convergência para verificar a sequência
c) faça 4 iterações com o
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
- Foi dada a equação
, cuja raiz positiva é . - Foi proposto o método do ponto fixo com
e a iteração - Perguntas:
a) Determinar o intervalo de convergência (isto é, para quais pontos iniciaisa sequência converge para ).
b) Usar o teorema de convergência de ponto fixo (teorema do ponto fixo / contracção) para verificar o comportamento da sequência quando tomamos.
c) Fazer 4 iterações come dizer o que acontece.
Informações importantes dadas:
e a raiz buscada
. Tomamos
para que
seja real (caso
a iteração degeneraria; trabalharemos no caso
).
Passo 2
Conceitos úteis (explicados passo a passo):
-
Definição de ponto fixo: um número
é ponto fixo de se Aqui, imponerdá , logo os pontos fixos são Em particular a raiz positivaé ponto fixo de . -
Teorema do ponto fixo (versão de contracção numa intervalo): se existe um intervalo fechado
tal que -
(a função leva em si mesma), e - existe
com tal que para todo ,
entãoé contracção em e, para qualquer , a sequência converge ao único ponto fixo de em .
-
-
Regra prática usando derivada: se
é diferenciável, uma maneira de testar a condição 2 é verificar se .
Agora calculemos a derivada de
:
O módulo é
Isto é uma fórmula simples: para cada
,
é
dividido por
. Para entender onde
resolvemos:
Portanto, em valores de
com
a derivada tem módulo menor que
. Isso indica que, pontualmente, longe do ponto fixo a função pode ter comportamento “contrátil”. Porém atenção: o teorema exige que isso ocorra em todo um intervalo invariável
que contenha o ponto fixo; só ter
num ponto isolado não garante convergência.
Passo 3
Análise da invariância e tentativa de achar um intervalo
que satisfaça as hipóteses do teorema contendo
.
Queremos um intervalo
com
tal que
e
.
-
Primeiro, calcule a imagem de
por . Para com , Para queprecisamos que Essas duas desigualdades juntas implicam. Ou seja, só existe invariância se : o intervalo tem extremos reciprocamente relacionados. Mas observe que se então ?? Vamos verificar: se e então e não há garantia; a condição força que um dos extremos seja menor que e o outro maior de modo a multiplicarem . Em particular, qualquer intervalo invariável em torno de precisa satisfazer . -
Segundo, a condição de contracção na forma
exige que para todo tenhamos , i.e. para todo . Mas se todo satisfizer , então (se for positivo). Neste caso (porque ambos maiores que ), contradizendo a necessidade para invariância. Portanto não é possível ter um intervalo fechado que contenha , seja invariável por e ao mesmo tempo satisfaça .
Conclusão desta análise: não existe um intervalo aberto (nem fechado) contendo
em que a função
seja simultaneamente invariável e contracção. Assim, o teorema do ponto fixo na forma padrão não pode ser aplicado para garantir convergência a
a partir de um intervalo de pontos iniciais ao redor de
.
Passo 4
Análise direta do comportamento da iteração para qualquer
(identidade de período 2).
Calcule duas iterações seguidas:
Portanto vale a identidade fundamental
Isto significa que a sequência
é periódica de período no máximo
: ou é constante (quando
desde o começo, i.e. quando
já é um ponto fixo) ou ela alterna entre dois valores distintos
e
.
Assim:
- A única maneira de a sequência convergir (no sentido usual) é ela ser constante, o que implica
, i.e. . - Se
então e a sequência fica alternando entre dois valores distintos sem convergir.
Isso resolve genericamente a pergunta sobre o conjunto de convergência: apenas os pontos iniciais que já são pontos fixos (ou seja,
ou
) produzem convergência; nenhum outro
leva a aproximação de
.
Passo 5
Aplicação ao caso específico
(item b usando o teorema e o raciocínio anterior):
-
Primeiro verificação da derivada em torno dos pontos envolvidos: para
temos Isso mostra apenas que no pontoa derivada tem módulo menor que 1. Porém, como explicado no Passo 3, o teorema exige num intervalo que também seja invariável por e contenha o ponto fixo; isso não é possível aqui. Portanto o teorema de contracção não pode ser usado para garantir convergência desde . -
Pelo raciocínio direto do Passo 4 (identidade
), tomando obtemos que a sequência alterna entre e e, salvo se for já o ponto fixo, não converge. Concluímos que, apesar de num ponto isolado, a sequência com NÃO converge para .
Passo 6
Quatro iterações explícitas com
(item c):
- Calcule
: - Calcule
: - Calcule
: - Calcule
:
Logo os quatro primeiros termos são, em ordem:
O que acontece: a sequência entra num ciclo de período
, alternando entre
e
. Por isso ela não converge para
.
Resposta
a) A iteração converge apenas se o ponto inicial já for um ponto fixo, isto é, somente para
(ou
se considerarmos a raiz negativa). Não existe um intervalo aberto contendo
onde
seja contracção e garanta convergência.
b) O teorema de convergência (contracção) não pode ser aplicado para garantir convergência a partir de ; analisando diretamente a iteração vê‑se que a sequência alterna e NÃO converge para
.
c) . A sequência entra num ciclo de período
(oscila entre
e
) e, portanto, não converge.
b) O teorema de convergência (contracção) não pode ser aplicado para garantir convergência a partir de
c)