Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação da raiz da equação
no intervalo
. Realize 5 iterações. Apresente: valores de
e
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da posição falsa (regula falsi) para aproximar uma raiz da equação
no intervalo
, realizando exatamente 5 iterações. Para cada iteração devo informar
,
,
e
.
Informações dadas extraídas do enunciado:
- A função é
. - O intervalo inicial é
. - Devem ser feitas 5 iterações do método da posição falsa.
Passo 2
Explicando o método da posição falsa (de forma bem prática):
- Temos um intervalo
tal que e têm sinais opostos (assim existe ao menos uma raiz no intervalo). - Em cada iteração substituímos a curva
pela reta que passa pelos pontos e , e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como aproximação da raiz. Essa interseção é o ponto dado por interpolação linear. - A fórmula que dá essa interseção é (duas formas equivalentes; vou usar a forma simétrica e também a forma prática):
ou, equivalentemente,
- Após calcular
, avaliamos . Se então a raiz está em (substituímos por ); se então a raiz está em (substituímos por ). Se acabamos exatamente. - Aqui faremos 5 iterações fixas (mesmo que o valor já esteja muito próximo).
Passo 3
Avalio os extremos iniciais:
Portanto
e
. Há troca de sinal em
, ótima condição para aplicar a posição falsa.
Vou indexar as iterações com
. Em cada iteração mostro
. Começo com
e
.
Passo 4
Dados:
,
,
,
.
Calculo
pela fórmula:
Avalio
:
Sinal de
é negativo (como
), então a nova bisecção substitui
por
. Assim:
Passo 5
Dados:
,
,
,
.
Calculo
com a mesma fórmula. Como
e
, a fórmula simplifica para
Aplicando:
Agora
:
Calculando em forma racional direta resulta
O sinal continua negativo, então substituímos
por
:
Passo 6
Dados:
,
,
,
.
Usando a simplificação
(válida enquanto
e
):
Avalio
numericamente (o termo cúbico já é pequeno):
Ainda negativo, então:
Passo 7
Dados:
,
, e
.
Uso novamente a forma simplificada:
Para
faço uma avaliação (ou uma aproximação linear a partir de
); obtém-se
Ainda negativo, atualização:
Passo 8
Dados:
,
,
.
Novo ponto:
Avaliação final pedida:
Observação pedagógica rápida: como
permaneceu
nas iterações (porque
e todos os
encontrados foram negativos), a fórmula simplificada
foi muito prática. Isso acontece porque um dos extremos permaneceu fixo; é um comportamento frequente na posição falsa quando um extremo “puxa” muito a reta.