Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação da raiz da equação
f(x)=x^{3}-4 x+1
no intervalo [0,1]. Realize 5 iterações. Apresente: valores de a_{k}, b_{k}, x_{k} e f\left(x_{k}\right).

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da posição falsa (regula falsi) para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}-4x+1
no intervalo [0,1], realizando exatamente 5 iterações. Para cada iteração devo informar a_{k}, b_{k}, x_{k} e f\left(x_{k}\right).
Informações dadas extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{3}-4x+1.
  • O intervalo inicial é [0,1].
  • Devem ser feitas 5 iterações do método da posição falsa.

Passo 2

Explicando o método da posição falsa (de forma bem prática):
  • Temos um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos (assim existe ao menos uma raiz no intervalo).
  • Em cada iteração substituímos a curva y=f(x) pela reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)), e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como aproximação da raiz. Essa interseção é o ponto x dado por interpolação linear.
  • A fórmula que dá essa interseção é (duas formas equivalentes; vou usar a forma simétrica e também a forma prática):
x=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}
ou, equivalentemente,
x=b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • Após calcular x, avaliamos f(x). Se f(a)\cdot f(x)<0 então a raiz está em [a,x] (substituímos b por x); se f(x)\cdot f(b)<0 então a raiz está em [x,b] (substituímos a por x). Se f(x)=0 acabamos exatamente.
  • Aqui faremos 5 iterações fixas (mesmo que o valor já esteja muito próximo).

Passo 3

Avalio os extremos iniciais:
f(0)=0^{3}-4\cdot0+1=1, \qquad f(1)=1^{3}-4\cdot1+1=1-4+1=-2.
Portanto f(0)=1>0 e f(1)=-2<0. Há troca de sinal em [0,1], ótima condição para aplicar a posição falsa.
Vou indexar as iterações com k=1,2,3,4,5. Em cada iteração mostro a_k,b_k,x_k,f(x_k). Começo com a_1=0 e b_1=1.

Passo 4

Dados: a_{1}=0, b_{1}=1, f(a_{1})=1, f(b_{1})=-2.
Calculo x_{1} pela fórmula:
x_{1}=\frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} =\frac{0\cdot(-2)-1\cdot1}{-2-1}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}.
Avalio f(x_{1}):
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}-4\left(\tfrac{1}{3}\right)+1 =\tfrac{1}{27}-\tfrac{4}{3}+1 =\tfrac{1-36+27}{27}=-\tfrac{8}{27}\approx-0{,}2962962963.
Sinal de f(x_{1}) é negativo (como f(b_{1})), então a nova bisecção substitui b por x_{1}. Assim:
a_{2}=a_{1}=0,\qquad b_{2}=x_{1}=\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Dados: a_{2}=0, b_{2}=\tfrac{1}{3}, f(a_{2})=1, f(b_{2})=-\tfrac{8}{27}.
Calculo x_{2} com a mesma fórmula. Como a=0 e f(a)=1, a fórmula simplifica para
x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{-b}{f(b)-1}=\frac{b}{1-f(b)}.
Aplicando:
x_{2}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-(-\tfrac{8}{27})} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1+\tfrac{8}{27}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{35}{27}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{35}=\frac{9}{35}\approx0{,}2571428571.
Agora f(x_{2}):
f\!\left(\tfrac{9}{35}\right)=\left(\tfrac{9}{35}\right)^{3}-4\cdot\frac{9}{35}+1 =\frac{729}{42875}-\frac{36}{35}+1 =\frac{729}{42875}-\frac{1225}{1225}\cdot\frac{1}{35}+1\quad(\text{fazendo comun.})
Calculando em forma racional direta resulta
f\!\left(\tfrac{9}{35}\right)=-\frac{496}{42875}\approx-0{,}0115686040.
O sinal continua negativo, então substituímos b por x_{2}:
a_{3}=0,\qquad b_{3}=\tfrac{9}{35}.

Passo 6

Dados: a_{3}=0, b_{3}=\tfrac{9}{35}, f(a_{3})=1, f(b_{3})=-\dfrac{496}{42875}.
Usando a simplificação x=\dfrac{b}{1-f(b)} (válida enquanto a=0 e f(a)=1):
x_{3}=\frac{\tfrac{9}{35}}{1 -\left(-\dfrac{496}{42875}\right)} =\frac{\tfrac{9}{35}}{1+\dfrac{496}{42875}} =\frac{\tfrac{9}{35}}{\dfrac{43371}{42875}} =\frac{9}{35}\cdot\frac{42875}{43371}=\frac{11025}{43371}\approx0{,}2542021166.
Avalio f(x_{3}) numericamente (o termo cúbico já é pequeno):
f(x_{3})\approx x_{3}^{3}-4x_{3}+1\approx-0{,}0003795034.
Ainda negativo, então:
a_{4}=0,\qquad b_{4}=x_{3}=\frac{11025}{43371}.

Passo 7

Dados: a_{4}=0, b_{4}=\dfrac{11025}{43371}\approx0{,}2542021166, e f(b_{4})\approx-0{,}0003795034.
Uso novamente a forma simplificada:
x_{4}=\frac{b_{4}}{1-f(b_{4})}\approx\frac{0{,}2542021166}{1-(-0{,}0003795034)}=\frac{0{,}2542021166}{1{,}0003795034}\approx0{,}2541056770.
Para f(x_{4}) faço uma avaliação (ou uma aproximação linear a partir de f(x_{3})); obtém-se
f(x_{4})\approx-0{,}0000124334.
Ainda negativo, atualização:
a_{5}=0,\qquad b_{5}=x_{4}\approx0{,}2541056770.

Passo 8

Dados: a_{5}=0, b_{5}\approx0{,}2541056770, f(b_{5})\approx-0{,}0000124334.
Novo ponto:
x_{5}=\frac{b_{5}}{1-f(b_{5})}\approx\frac{0{,}2541056770}{1{,}0000124334}\approx0{,}2541025170.
Avaliação final pedida:
f(x_{5})\approx x_{5}^{3}-4x_{5}+1\approx-4{,}13\times10^{-7}\quad(\text{aprox. }-0{,}000000413).
Observação pedagógica rápida: como a permaneceu 0 nas iterações (porque f(0)=1>0 e todos os f(x_{k}) encontrados foram negativos), a fórmula simplificada x_{k}=\dfrac{b_{k}}{1-f(b_{k})} foi muito prática. Isso acontece porque um dos extremos permaneceu fixo; é um comportamento frequente na posição falsa quando um extremo “puxa” muito a reta.

Resposta

k=1:\; a_{1}=0,\; b_{1}=1,\; x_{1}=\dfrac{1}{3}\approx0{,}3333333333,\; f(x_{1})=-\dfrac{8}{27}\approx-0{,}2962962963\n
k=2:\; a_{2}=0,\; b_{2}=\dfrac{1}{3},\; x_{2}=\dfrac{9}{35}\approx0{,}2571428571,\; f(x_{2})=-\dfrac{496}{42875}\approx-0{,}0115686040\n
k=3:\; a_{3}=0,\; b_{3}=\dfrac{9}{35},\; x_{3}=\dfrac{11025}{43371}\approx0{,}2542021166,\; f(x_{3})\approx-0{,}0003795034\n
k=4:\; a_{4}=0,\; b_{4}=\dfrac{11025}{43371},\; x_{4}\approx0{,}2541056770,\; f(x_{4})\approx-0{,}0000124334\n
k=5:\; a_{5}=0,\; b_{5}\approx0{,}2541056770,\; x_{5}\approx0{,}2541025170,\; f(x_{5})\approx-4{,}13\times10^{-7}

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