Um corpo com massa inicial de 200 kg é acelerado por uma força constante de 200 N . A massa decresce a uma taxa de
. Se o corpo está em repouso em t=0, encontre sua velocidade ao final de 50 s . Sabe-se que a equação diferencial é dada por:
Resolva o problema usando o método de Euler. Observação: A solução exata desse problema é
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial e condição inicial e pede a velocidade em
usando o método de Euler. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
. - Quer-se aplicar o método de Euler (numérico) para obter
. - A solução exata é informada:
(isso serve só para comparar, não para calcular com Euler).
Passo 2
O que é o método de Euler (explicação passo a passo, sem pressa):
- O método explícito de Euler aproxima a derivada por diferença finita. Se dividimos o tempo em passos de tamanho
e chamamos e a aproximação para , então a regra de atualização é
onde
.
- Aqui
depende só de , não de : . Isso simplifica bastante: cada incremento depende só do tempo atual.
Passo 3
Escolha do passo
(explicando meu critério): para uma aplicação manual em prova eu escolho
. Motivos: é um passo simples (inteiros), dá uma boa precisão aqui e exige 50 atualizações, que podemos somar de forma fechada porque
não depende de
. Com
temos
passos e
(em segundos),
. A fórmula de Euler fica
Início:
.
Passo 4
Observação útil (simplificação algebraica): como cada incremento não depende de
, a aproximação final é simplesmente a soma dos incrementos:
Faço a troca de índice
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Ou seja, precisamos calcular a soma harmônica parcial
.
Passo 5
Como calcular
sem somar 50 frações uma a uma? Uso a aproximação por números harmônicos e a expansão de Euler–Maclaurin (suficiente para prova):
- Defino o número harmônico
. - Então
. - Para
usa-se a aproximação
onde
é a constante de Euler–Mascheroni,
. Essa aproximação já dá boa precisão para
da ordem de 100.
Calculemos:
- Primeiro
. Usa-se . Numericamente . - Então
- Agora
. Numericamente . - Então
- Subtraindo,
Passo 6
Agora multiplico pelo fator
para obter a velocidade aproximada pelo método de Euler com
:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (como é comum em provas):
Passo 7
Avaliação do resultado e comentários finais (estilo amigo que anima):
- A solução exata dada é
. Nossa aproximação por Euler com deu . - Erro absoluto:
. - Erro relativo:
ou . Bem pequeno — o método funcionou direitinho aqui. - Dica prática: se quiser maior precisão em prova, escolha
ou ; a soma fica maior (mais termos) mas o erro diminui. Como não depende de , pode-se escrever a soma exata dos incrementos e usar aproximações de séries (como fiz) para acelerar as contas.