Um corpo com massa inicial de 200 kg é acelerado por uma força constante de 200 N . A massa decresce a uma taxa de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Se o corpo está em repouso em t=0, encontre sua velocidade ao final de 50 s . Sabe-se que a equação diferencial é dada por:
\frac{d v}{d t}=\frac{2000}{200-t}
Resolva o problema usando o método de Euler. Observação: A solução exata desse problema é \mathrm{v}(50)=575,36

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial e condição inicial e pede a velocidade em t=50\\ \mathrm{s} usando o método de Euler. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: \frac{dv}{dt}=\frac{2000}{200-t}.
  • Condição inicial: v(0)=0.
  • Quer-se aplicar o método de Euler (numérico) para obter v(50).
  • A solução exata é informada: v(50)=575{,}36 (isso serve só para comparar, não para calcular com Euler).

Passo 2

O que é o método de Euler (explicação passo a passo, sem pressa):
  • O método explícito de Euler aproxima a derivada por diferença finita. Se dividimos o tempo em passos de tamanho h e chamamos t_n = n h e v_n a aproximação para v(t_n), então a regra de atualização é
v_{n+1}=v_n + h\cdot f(t_n,v_n),
onde f(t,v)=\dfrac{dv}{dt}.
  • Aqui f depende só de t, não de v: f(t)=\dfrac{2000}{200-t}. Isso simplifica bastante: cada incremento depende só do tempo atual.

Passo 3

Escolha do passo h (explicando meu critério): para uma aplicação manual em prova eu escolho h=1\\ \mathrm{s}. Motivos: é um passo simples (inteiros), dá uma boa precisão aqui e exige 50 atualizações, que podemos somar de forma fechada porque f não depende de v. Com h=1 temos N=50 passos e t_n=n (em segundos), n=0,1,\dots,50. A fórmula de Euler fica
v_{n+1}=v_n + 1\cdot \frac{2000}{200 - t_n} \quad\Rightarrow\quad v_{n+1}=v_n + \frac{2000}{200 - n}.
Início: v_0=0.

Passo 4

Observação útil (simplificação algebraica): como cada incremento não depende de v_n, a aproximação final é simplesmente a soma dos incrementos:
v_{50}\approx \sum_{n=0}^{49}\frac{2000}{200-n}.
Faço a troca de índice m=200-n. Quando n=0 temos m=200; quando n=49 temos m=151. Assim
v_{50}\approx 2000\sum_{m=151}^{200}\frac{1}{m}.
Ou seja, precisamos calcular a soma harmônica parcial \sum_{m=151}^{200} \dfrac{1}{m}.

Passo 5

Como calcular \sum_{m=151}^{200} \dfrac{1}{m} sem somar 50 frações uma a uma? Uso a aproximação por números harmônicos e a expansão de Euler–Maclaurin (suficiente para prova):
  • Defino o número harmônico H_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.
  • Então \sum_{m=151}^{200}\dfrac{1}{m}=H_{200}-H_{150}.
  • Para H_n usa-se a aproximação
H_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n},
onde \gamma é a constante de Euler–Mascheroni, \gamma\approx 0{,}57721566. Essa aproximação já dá boa precisão para n da ordem de 100.
Calculemos:
  • Primeiro \ln 200. Usa-se \ln 200=\ln(2\cdot 100)=\ln 2 + \ln 100. Numericamente \ln 200\approx 5{,}298317.
  • Então
H_{200}\approx \ln 200 + \gamma + \frac{1}{2\cdot 200} \approx 5{,}298317 + 0{,}577216 + 0{,}002500 = 5{,}878033.
  • Agora \ln 150. Numericamente \ln 150\approx 5{,}010635.
  • Então
H_{150}\approx \ln 150 + \gamma + \frac{1}{2\cdot 150} \approx 5{,}010635 + 0{,}577216 + 0{,}003333 = 5{,}591184.
  • Subtraindo,
\sum_{m=151}^{200}\frac{1}{m}=H_{200}-H_{150}\approx 5{,}878033-5{,}591184=0{,}286849.

Passo 6

Agora multiplico pelo fator 2000 para obter a velocidade aproximada pelo método de Euler com h=1:
v_{50}\approx 2000\times 0{,}286849 = 573{,}698.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (como é comum em provas):
v_{50}\approx 573{,}70\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Avaliação do resultado e comentários finais (estilo amigo que anima):
  • A solução exata dada é 575{,}36\\ \mathrm{m/s}. Nossa aproximação por Euler com h=1 deu 573{,}70\\ \mathrm{m/s}.
  • Erro absoluto: 575{,}36-573{,}70=1{,}66\\ \mathrm{m/s}.
  • Erro relativo: \dfrac{1{,}66}{575{,}36}\approx 0{,}0029 ou 0{,}29\%. Bem pequeno — o método funcionou direitinho aqui.
  • Dica prática: se quiser maior precisão em prova, escolha h=0{,}5 ou h=0{,}1; a soma fica maior (mais termos) mas o erro diminui. Como f não depende de v, pode-se escrever a soma exata dos incrementos e usar aproximações de séries (como fiz) para acelerar as contas.

Resposta

573{,}70\\ \mathrm{m/s}

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