Use o método da secante para encontrar a raiz da função f(x)=\ln (x)-\frac{1}{x} com aproximações x_{0}=1 e x_{1}=2. Faça no máximo oito iterações.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=\ln(x)-\frac{1}{x}
usando o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=1 e x_{1}=2.
Este método constrói iterativamente
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n}) \frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}
até convergir para a raiz.

Passo 2

Começamos calculando
f(x_{0}) = f(1) = \ln(1)-\frac{1}{1} =0-1=-1,
f(x_{1}) = f(2) = \ln(2)-\tfrac12 \approx0,693147-0,5=0,193147.
A fórmula da secante fica então
x_{2} = 2 - 0,193147 \frac{2-1}{0,193147-(-1)} \approx1,838081.

Passo 3

Aplicando a fórmula para obter até oito iterações, temos
\begin{aligned} x_{2}&\approx1,838081,\quad &f(x_{2})&\approx0,065442,\\\ x_{3}&= 1,838081 - 0,065442 \frac{1,838081-2}{0,065442-0,193147} \approx1,755076,\quad &f(x_{3})&\approx-0,007442,\\\ x_{4}&= 1,755076 - (-0,007442) \frac{1,755076-1,838081}{-0,007442-0,065442} \approx1,763548,\quad &f(x_{4})&\approx0,000379,\\\ x_{5}&= 1,763548 - 0,000379 \frac{1,763548-1,755076}{0,000379-(-0,007442)} \approx1,763138,\quad &f(x_{5})&\approx0,000152,\\\ x_{6}&= 1,763138 - 0,000152 \frac{1,763138-1,763548}{0,000152-0,000379} \approx1,762863,\quad &f(x_{6})&\approx-0,000255,\\\ x_{7}&= 1,762863 - (-0,000255) \frac{1,762863-1,763138}{-0,000255-0,000152} \approx1,763035,\quad &f(x_{7})&\approx8\times10^{-8},\\\ x_{8}&= 1,763035 - 8\times10^{-8} \frac{1,763035-1,762863}{8\times10^{-8}-(-0,000255)} \approx1,763035,\quad &f(x_{8})&\approx-5\times10^{-11}. \end{aligned}

Passo 4

As aproximações estabilizam em torno de
x\approx1,763035.

Resposta

A raiz aproximada, após oito iterações do método da secante, é
x\approx1,763035.

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