A equação f(x)=\frac{1}{x}-x tem uma raiz entre x=0.5 e x=2. Utilize o método da secante modificada e calcule até erro menor que 10^{-4}

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=\frac{1}{x}-x
no intervalo [0,5,2] usando o método da secante modificada até que o erro na aproximação seja menor que 10^{-4}. Para isso, vamos usar a fórmula da secante:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\, \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Começamos com x_0=0,5 e x_1=2.

Passo 2

Calculamos f(x_0) e f(x_1):
f(0,5)=\frac{1}{0,5}-0,5=2-0,5=1,5, \quad f(2)=\frac{1}{2}-2=0,5-2=-1,5.
Aplicando a secante para obter x_2:
x_2 = 2 - (-1,5)\, \frac{2-0,5}{-1,5-1,5} = 2-\frac{-1,5\times1,5}{-3} = 2-0,75 = 1,25.

Passo 3

Agora usamos (x_1,x_2) para obter x_3. Primeiro calculamos
f(1,25)=\frac{1}{1,25}-1,25=0,8-1,25=-0,45.
Então
x_3 = 1,25 - (-0,45)\, \frac{1,25-2}{-0,45-(-1,5)} = 1,25-\frac{-0,45\times(-0,75)}{1,05} \approx0,92857.

Passo 4

Repetimos o processo para (x_2,x_3) e depois (x_3,x_4):
  1. Calcular f(0,92857)\approx0,1482.
x_4 = 0,92857 - 0,1482\, \frac{0,92857-1,25}{0,1482-(-0,45)} \approx1,00830.
  1. Calcular f(1,00830)\approx-0,01655.
x_5 = 1,00830 - (-0,01655)\, \frac{1,00830-0,92857}{-0,01655-0,1482} \approx1,00028.

Passo 5

Finalmente, de (x_4,x_5) obtemos x_6. Calculamos
f(1,00028)\approx-0,00056
e
x_6 = 1,00028 - (-0,00056)\, \frac{1,00028-1,00830}{-0,00056-(-0,01655)} \approx1,00000.
O erro estimado é \lvert x_6-x_5\rvert\approx2{,}8\times10^{-7}<10^{-4}, então podemos parar.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1{,}0000.

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