Use o método das seções transversais para determinar o volume do sólido S, onde S é o sólido limitado pelo plano z=0 e o gráfico da função:
z=x cos (x y)+3 definida no retângulo R=[0,2] times[1, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido S que está limitado pelo plano z = 0 e pela função z = x cos(xy) + 3 , definida no retângulo R = [0,2] times [1, pi] . Vamos usar o método das seções transversais que envolve calcular uma integral dupla para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume V do sólido S pode ser calculado integrando a função z = x cos(xy) + 3 sobre a região R . Ou seja, V é igual à integral dupla da função sobre R :
V = integral0^2 integral1^pi (x cos(xy) + 3) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y de 1 a pi , e depois em relação a x de 0 a 2.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y :
integral1^pi (x cos(xy) + 3) , dy
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
x integral1^pi cos(xy) , dy + integral1^pi 3 , dy
A primeira parte, x integral cos(xy) , dy , vamos resolver usando substituição. Seja u = xy , então du = x , dy ou dy = dux :
x cdot 1x integral cos(u) , du = integral cos(u) , du = sin(u) = sin(xy)
Portanto, a primeira parte resulta em sin(xpi) - sin(x) .
Já a segunda parte é mais simples:
integral1^pi 3 , dy = 3(y) g|1^pi = 3pi - 3

Passo 4

Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
sin(xpi) - sin(x) + 3pi - 3
Vamos então integrar isso em relação a x de 0 a 2:
V = integral0^2 [sin(xpi) - sin(x) + 3pi - 3] , dx
Essa integral também pode ser dividida em partes:
integral0^2 sin(xpi) , dx - integral0^2 sin(x) , dx + integral0^2 (3pi - 3) , dx

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. Integral de sin(xpi) :
integral sin(xpi) , dx = -cos(xpi)pi g|0^2 = -cos(2pi)pi + cos(0)pi = -1pi + 1pi = 0
  1. Integral de -sin(x) :
-integral sin(x) , dx = cos(x) g|0^2 = cos(2) - cos(0) = cos(2) - 1
  1. Integral de 3pi - 3 :
integral (3pi - 3) , dx = (3pi - 3)x g|0^2 = (3pi - 3) cdot 2 - (3pi - 3) cdot 0 = 6pi - 6

Passo 6

Agora, somando todas as partes:
V = 0 + (cos(2) - 1) + (6pi - 6) = cos(2) - 1 + 6pi - 6
Simplificando:
V = 6pi - 7 + cos(2)
Para ter uma ideia numérica, sabemos que cos(2) approx -0.4161 , então:
V approx 6 times 3.1416 - 7 - 0.4161 approx 18.8496 - 7 - 0.4161 approx 11.4335

Resposta

O volume do sólido S é aproximadamente 11.43 unidades cúbicas.

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