Use o método das seções transversais para determinar o volume do sólido , onde é o sólido limitado pelo plano e o gráfico da função: definida no retângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está limitado pelo plano e pela função , definida no retângulo . Vamos usar o método das seções transversais que envolve calcular uma integral dupla para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume do sólido pode ser calculado integrando a função sobre a região . Ou seja, é igual à integral dupla da função sobre :
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 1 a , e depois em relação a de 0 a 2.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
A primeira parte, , vamos resolver usando substituição. Seja , então ou :
Portanto, a primeira parte resulta em .
Já a segunda parte é mais simples:
Passo 4
Agora, juntando as duas partes, a integral interna fica:
sin(xpi) - sin(x) + 3pi - 3
Vamos então integrar isso em relação a x de 0 a 2: