Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
a y^2+b-x^2 y y^prime=0, a neq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
a,y^2+b - x^2,y,y'=0, aneq0,
usando o método de separação de variáveis. É uma EDO de primeira ordem e podemos escrever y' em função de x e y para separar variáveis.

Passo 2

Isolamos y' em termos de x e y. Da equação
a,y^2+b = x^2,y,dydx
segue
dydx = a,y^2+bx^2,y

Passo 3

Agora separamos as variáveis levando todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o lado direito:
ya,y^2+b,dy = 1x^2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral ya,y^2+b,dy = integral x^-2,dx
Para a integral à esquerda fazemos u = a,y^2+b, de modo que du = 2a,y,dy, logo
integral ya,y^2+b,dy = 12aintegral duu = 12alnl|ur| + C1 = 12alnl|a,y^2+br| + C1
A integral à direita é
integral x^-2,dx = -1x + C2
Igualando e absorvendo constantes, temos
12alnl|a,y^2+br| = -1x + C

Passo 5

Multiplicamos por 2a e reescrevemos a solução de forma implícita ou explícita. Da expressão
lnl|a,y^2+br| = -2ax + 2a,C
segue
l|a,y^2+br| = K,e^-tfrac2ax, K=e^2aC
Assim a solução geral pode ser escrita implicitamente como
a,y^2+b = K,e^-tfrac2ax
ou explicitamente
y(x) = pm raizK,e^-tfrac2ax - ba,
com K constante arbitrária.

Resposta

a,y^2+b = K,e^-tfrac2ax,
ou
y(x) = pm raizK,e^-tfrac2ax - ba,
onde K é constante de integração.

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