Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão
.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
e, se convergir, encontrar sua soma. Aqui vamos usar a ideia de série telescópica, em que muitos termos se cancelam quando somamos parcialmente.
Passo 2
Definimos a soma parcial até
:
Nosso objetivo é expressar
de forma que vejamos os cancelamentos.
Passo 3
Escrevendo os primeiros termos de
:
Perceba que
cancela com
,
com
, e assim por diante. Só ficam o primeiro e o último termo:
Passo 4
Para ver se a série converge, computamos o limite de
quando
:
Logo,
Isso mostra que a série é convergente e sua soma é
.
Resposta
A série converge e sua soma é
.