Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=1^infty e^1n-e^1n+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyl(e^1n-e^1n+1r)
e, se convergir, encontrar sua soma. Aqui vamos usar a ideia de série telescópica, em que muitos termos se cancelam quando somamos parcialmente.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^Nl(e^tfrac1n-e^tfrac1n+1r)
Nosso objetivo é expressar SN de forma que vejamos os cancelamentos.

Passo 3

Escrevendo os primeiros termos de SN:
SN = l(e^1-e^tfrac12r) + l(e^tfrac12-e^tfrac13r) + cdots + l(e^tfrac1N-e^tfrac1N+1r)
Perceba que -e^tfrac12 cancela com +e^tfrac12, -e^tfrac13 com +e^tfrac13, e assim por diante. Só ficam o primeiro e o último termo:
SN = e^1 - e^tfrac1N+1

Passo 4

Para ver se a série converge, computamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinfty e^tfrac1N+1 = e^0 = 1
Logo,
limNtoinfty SN = e - 1
Isso mostra que a série é convergente e sua soma é e-1.

Resposta

A série converge e sua soma é e-1.

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