Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=1^infty 1raizn^2+n(raizn+1+raizn)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 1raizn^2+n,l(raizn+1+raiznr)
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é séries de termos positivos e construção de soma telescópica via manipulação de radicais.

Passo 2

Note que
raizn^2+n=raizn(n+1)=raizn,raizn+1
Então o termo geral fica
an =1raizn,raizn+1,l(raizn+1+raiznr)

Passo 3

Vamos verificar que esse an é igual à diferença
1raizn-1raizn+1
De fato, calculando essa diferença com conjugado:
1raizn-1raizn+1 =raizn+1-raiznraizn,raizn+1 =(raizn+1-raizn)(raizn+1+raizn)raizn,raizn+1,(raizn+1+raizn) =1raizn,raizn+1,(raizn+1+raizn),
ou seja,
an=1raizn-1raizn+1

Passo 4

A soma parcial até N é
SN =sumn=1^Nan =sumn=1^Nl(1raizn-1raizn+1r) =1-1raizN+1,
pois ocorre cancelamento telescópico de quase todos os termos.

Passo 5

Fazendo Ntoinfty temos tfrac1raizN+1to0, logo
sumn=1^inftyan =limNtoinftySN =1

Resposta

A série converge e sua soma vale 1.

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