Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão
.)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é séries de termos positivos e construção de soma telescópica via manipulação de radicais.
Passo 2
Note que
Então o termo geral fica
Passo 3
Vamos verificar que esse
é igual à diferença
De fato, calculando essa diferença com conjugado:
ou seja,
Passo 4
A soma parcial até
é
pois ocorre cancelamento telescópico de quase todos os termos.
Passo 5
Fazendo
temos
, logo
Resposta
A série converge e sua soma vale
.