Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=(1-y)(2-y)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
dydx = (1 - y)(2 - y)
usando o método de separação de variáveis. Vamos isolar y de um lado e x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dy(1 - y)(2 - y) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, faça frações parciais:
1(1 - y)(2 - y) = A1 - y + B2 - y
Queremos 1 = A(2-y) + B(1-y), de onde
A + B = 0 e 2A + B = 1. Logo A=1, B=-1, isto é
1(1 - y)(2 - y) = 11 - y - 12 - y

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(11 - y - 12 - yr)dy = integral dx
Como
integral 11 - y,dy = -ln|1 - y|
e
integral 12 - y,dy = -ln|2 - y|,
temos
-ln|1 - y| + ln|2 - y| = x + C

Passo 5

Combine logaritmos e exponencie:
lnl|2 - y1 - yr| = x + C Longrightarrow 2 - y1 - y = K,e^x,
onde K = e^C é constante arbitrária (não nula).

Passo 6

Resolva para y:
2 - y = K e^x(1 - y) ;Longrightarrow; 2 - y = K e^x - K e^x,y ;Longrightarrow; y,(K e^x - 1) = K e^x - 2
boxedy(x)=K,e^x-2K,e^x-1,, KinR

Passo 7

Além dessa família, note as soluções de equilíbrio obtidas fazendo (1-y)(2-y)=0, ou seja
boxedy(x)equiv 1 e boxedy(x)equiv 2

Resposta

A solução geral é
y(x)=K,e^x-2K,e^x-1, KinR,
mais as soluções constantes yequiv1 e yequiv2.

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