Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=e^x-2 y

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
y' = e^x-2y
usando o método de separação de variáveis. Para isso vamos reescrever a derivada de modo a agrupar termos em y de um lado e termos em x do outro, e em seguida integrar.

Passo 2

Escrevendo a derivada e fatorando a exponencial, temos
dydx = e^x-2y = e^x,e^-2y
Agora separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por e^2ydx, obtendo
e^2y ,dy = e^x ,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^2y,dy = integral e^x,dx
As integrais são diretas, resultando em
12e^2y = e^x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolamos y. Primeiro multiplicamos por 2:
e^2y = 2e^x + C1,
com C1 = 2C. Em seguida aplicamos logaritmo natural:
2y = lnl(2e^x + C1r) Longrightarrow y = 12lnl(2e^x + C1r)

Resposta

A solução geral é
y(x) = 12lnl(2e^x + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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