Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Considere aplicar o Teste da Integral, que relaciona a convergência de uma série sum an com a convergência da integral integral1^infty f(x) d x, onde f(x) é uma função positiva, contínua e decrescente tal que f(n)=an.)
sumn=1^infty 1raizn+4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty1raizn+4
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral, que diz que, se f(x) for positiva, contínua e decrescente em [1,infty) e f(n)=an, então a série sum an e a integral integral1^inftyf(x),dx têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 2

Definimos
f(x)=1raizx+4
Essa função é claramente positiva e contínua para x>=1. Como x+4 cresce quando x cresce, raizx+4 cresce e, portanto, 1/raizx+4 é decrescente em [1,infty). Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Avaliamo-la:
integral1^infty1raizx+4,dx
Fazendo a substituição u=x+4, temos du=dx, e os limites mudam de x=1to u=5 e xtoinftyto utoinfty. Assim
integral1^infty1raizx+4,dx =integral5^inftyu^-tfrac12,du =[2,u^tfrac12]5^infty =limbtoinfty2raizb-2raiz5 =infty
Essa integral diverge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, como
integral1^inftyf(x),dx diverge, a série
sumn=1^inftyan também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1raizn+4 diverge.

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