Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Considere aplicar o Teste da Integral, que relaciona a convergência de uma série
com a convergência da integral
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente tal que
.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral, que diz que, se for positiva, contínua e decrescente em
e
, então a série
e a integral
têm o mesmo comportamento de convergência.
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral, que diz que, se
Passo 2
Definimos
Essa função é claramente positiva e contínua para
. Como
cresce quando
cresce,
cresce e, portanto,
é decrescente em
. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Avaliamo-la:
Fazendo a substituição
, temos
, e os limites mudam de
e
. Assim
Essa integral diverge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, como
diverge, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.