Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=y ln x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y'=yln x usando separação de variáveis. É um exercício de EDOs de 1º ordem em que precisamos isolar y e x em lados diferentes para depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=dydx=yln x, vemos que a equação é separável. Isolamos as variáveis:
1y,dy = ln x,dx
Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
integral 1y,dy = ln|y| + C1
No lado direito usamos integração por partes em integral ln x,dx:
integral ln x,dx = xln x - x + C2
Combinando as constantes ( C=C2-C1) obtemos
ln|y| = xln x - x + C
Para isolar y aplicamos exponenciação:
$$
|y| = e^{x\ln x - x + C} = eC,e{x\ln x - x} |y| = e^xln x - x + C = e^C,e^xln x - xáí
y(x)=A,e^{x\ln x - x}=A,x^x e^{-x}$$

Resposta

y(x)=C,e^xln x - x=C,x^x e^-x, onde C é constante arbitrária.

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