Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
3 x^2 y^prime=2 y(y-3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
3x^2,dydx=2,y(y-3)
usando o método de separação de variáveis. Vamos isolar y de um lado e x do outro e depois integrar cada parte.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, temos
dydx=2,y(y-3)3,x^2 Longrightarrow dyy(y-3)=23,x^2,dx

Passo 3

Agora integramos membro a membro:
integral dyy(y-3) = integral 23,x^2,dx

Passo 4

Para o lado esquerdo usamos frações parciais:
1y(y-3) =Ay+By-3,
onde
A(y-3)+B,y=1 ;Longrightarrow; A+B=0, -3A=1,
logo A=-tfrac13, B=tfrac13. Assim
integraldyy(y-3) =integrall(-tfrac13,1y+tfrac13,1y-3r)dy =-tfrac13ln|y|+tfrac13ln|y-3|+C1
Do lado direito,
integral 23,x^2,dx =23integral x^-2dx =23l(-tfrac1xr)+C2 =-23x+C2

Passo 5

Igualando as integrais e combinando constantes ( C=C2-C1),
-tfrac13ln|y|+tfrac13ln|y-3| =-23x+C ;Longrightarrow; lnl|y-3yr|=-2x+C'
Exponentiando,
y-3y=K,e^-2/x,
onde K=e^C' é constante arbitrária.

Passo 6

Isolando y,
y-3 = y,K,e^-2/x Longrightarrow yl(1 - K e^-2/xr)=3 Longrightarrow y(x)=31 - K e^-2/x,
sendo K a constante de integração.

Resposta

boxedy(x)=31 - K,e^-2/x,
onde K é constante arbitrária.

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