Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
y^prime=y cos x1+2 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = ycos x1 + 2y^2
Isso é um caso clássico de EDO separável, pois podemos escrever y' como produto de uma função de y e uma função de x. Vamos, então, isolar todos os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro.

Passo 2

Começamos reescrevendo y'=dydx e separando:
dydx = ycos x1 + 2y^2 Longrightarrow 1 + 2y^2y,dy = cos x,dx
Note que
1 + 2y^2y = 1y + 2y,
então a integral de cada lado fica mais direta.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integrall(1y + 2yr),dy = integral cos x,dx
Calculando as primitivas,
integral 1y,dy = lnlvert yrvert, integral 2y,dy = y^2, integral cos x,dx = sin x
Logo obtemos a solução implícita
lnlvert yrvert + y^2 = sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxedlnlvert yrvert + y^2 = sin x + C

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