Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Considere aplicar o Teste da Integral, que relaciona a convergência de uma série
com a convergência da integral
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente tal que
.)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
.
O conteúdo é o Teste da Integral: se é positiva, contínua e decrescente para
e
, então a série
converge se, e somente se, a integral
converge.
O conteúdo é o Teste da Integral: se
Passo 2
Definimos
Para
o denominador
, logo
é positiva e contínua.
A derivada é
A derivada é
que é negativa para
. Assim, a partir de
,
é decrescente e podemos aplicar o teste da integral ignorando um número finito de termos iniciais.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo
,
, quando
temos
e quando
temos
. Dale segue
que é finita.
Passo 4
Como a integral converge, pelo Teste da Integral a série
também converge.
também converge.
Resposta
A série é convergente.