Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Considere aplicar o Teste da Integral, que relaciona a convergência de uma série sum an com a convergência da integral integral1^infty f(x) d x, onde f(x) é uma função positiva, contínua e decrescente tal que f(n)=an.)
sumn=1^infty 1n^2-4 n+5

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 1n^2-4n+5.
O conteúdo é o Teste da Integral: se f é positiva, contínua e decrescente para x>=1 e f(n)=an, então a série sum an converge se, e somente se, a integral
integral1^infty f(x),dx converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=1x^2-4x+5,
Para x>=1 o denominador x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0, logo f(x) é positiva e contínua.
A derivada é
f'(x) =-2x-4(x^2-4x+5)^2
que é negativa para x>2. Assim, a partir de x=2, f é decrescente e podemos aplicar o teste da integral ignorando um número finito de termos iniciais.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty dxx^2-4x+5 =integral1^inftydx(x-2)^2+1,
Fazendo u=x-2, du=dx, quando x=1 temos u=-1 e quando xtoinfty temos utoinfty. Dale segue
integral1^inftydx(x-2)^2+1 =integral-1^inftyduu^2+1 =l[arctan(u)r]-1^infty =pi2-l(-pi4r) =3pi4,,
que é finita.

Passo 4

Como a integral converge, pelo Teste da Integral a série
sumn=1^infty1n^2-4n+5
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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