Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Considere aplicar o Teste da Integral, que relaciona a convergência de uma série sum an com a convergência da integral integral1^infty f(x) d x, onde f(x) é uma função positiva, contínua e decrescente tal que f(n)=an.)
sumn=1^infty e^ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty e^ln nn^2
é convergente ou divergente. Vamos usar o Teste da Integral, que diz: se f(x) é positiva, contínua e decrescente em [1,infty) com f(n)=an, então sum an e integral1^inftyf(x),dx têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 2

Observe que
e^ln n = n,
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an = e^ln nn^2 = nn^2 = 1n
Definimos então
f(x) = 1x,
que é positiva, contínua e decrescente para x>=1 e satisfaz f(n)=an.

Passo 3

Aplicando o Teste da Integral, consideramos
integral1^infty 1x,dx = limttoinfty l[ln xr]1^t = limttoinfty (ln t - ln 1) = infty
Como a integral diverge, a série correspondente também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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