Use método de separação das variáveis para resolver equação de onda
sujeita ás condições
para casos
(A)
(A)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de onda
para
e
, sujeita às condições de contorno
e às condições iniciais
no caso
.
O método de separação de variáveis envolve:
O método de separação de variáveis envolve:
- assumir
, - obter os autovalores e autofunções de
com , - montar a série geral usando modos
, - aplicar as condições iniciais para determinar coeficientes.
Passo 2
Seja
. Substituindo em
e dividindo por
dá
O problema de Sturm–Liouville em
é
cuja solução não trivial ocorre em
com autofunções
O correspondente em
satisfaz
Passo 3
A solução geral é
Aplicando
e
:
- Em
:
- Derivando em
e avaliando em :
Logo
com
Passo 4
Para
usamos a identidade trigonométrica
Logo a série de Fourier em senos tem apenas termos
e
:
Comparando com
, vemos
Assim