Use método de separação das variáveis para resolver equação de onda u_{t t}=u_{x x} sujeita ás condições u(0, t)=u(\pi, t)=o, u_{t}(x, 0)=0 \mathrm{e} u(x, 0)=f(x) para casos
(B) f(x)=x(\pi-x)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de onda
u_{tt} = u_{xx},
para 0<x<\pi, t>0, com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)=x(\pi - x),\quad u_t(x,0)=0.
O método a usar é separação de variáveis e expansão de f(x) em série de Fourier seno.
Passo 2
Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{tt}=u_{xx} e dividindo por X\,T obtém-se