Use método de separação das variáveis para resolver equação de onda u_{t t}=u_{x x} sujeita ás condições u(0, t)=u(\pi, t)=o, u_{t}(x, 0)=0 \mathrm{e} u(x, 0)=f(x) para casos
(B) f(x)=x(\pi-x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de onda
u_{tt} = u_{xx},
para 0<x<\pi, t>0, com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)=x(\pi - x),\quad u_t(x,0)=0.
O método a usar é separação de variáveis e expansão de f(x) em série de Fourier seno.

Passo 2

Procuramos solução da forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{tt}=u_{xx} e dividindo por X\,T obtém-se
\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.
As condições X(0)=X(\pi)=0 levam ao problema de autovalores
X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(\pi)=0,
cuja solução não-trivial exige \lambda_n=n^2, n=1,2,\dots, com autofunções
X_n(x)=\sin(nx).
Para cada n, a parte temporal satisfaz
T_n''+n^2T_n=0
com solução geral
T_n(t)=A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt).

Passo 3

A solução geral é combinação linear de todos os modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(nt)+B_n\sin(nt)\bigr)\,\sin(nx).
Da condição inicial u_t(x,0)=0 segue
\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,n\,\sin(nx)=0\quad\Longrightarrow\quad B_n=0\quad\forall n.
Da condição u(x,0)=f(x) segue
\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(nx)=x(\pi-x),
isto é, A_n são os coeficientes da série de Fourier seno de f:
A_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Para f(x)=x(\pi-x) definimos
I_n = \int_{0}^{\pi}x(\pi-x)\sin(nx)\,dx.
Escrevendo x(\pi-x)=\pi x - x^2 e integrando por partes nos dois termos, obtém-se (após simplificações)
I_n = -\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^3}.
Logo
A_n = \frac{2}{\pi}\,I_n = -\frac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3} =\begin{cases} -\dfrac{8}{\pi\,n^3},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 5

Substituindo A_n na série e lembrando que só os n ímpares contribuem, concluímos
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(nt)\,\sin(nx) =-\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)t\bigr)\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^3}.

Resposta

u(x,t) =-\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)t\bigr)\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^3}.

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