Use método de separação das variáveis para resolver equação de onda u_{t t}=u_{x x} sujeita ás condições u(0, t)=u(\pi, t)=o, u_{t}(x, 0)=0 \mathrm{e} u(x, 0)=f(x) para casos
(A) f(x)=\operatorname{sen}^{3} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de onda
u_{tt} = u_{xx},
para 0<x<\pi e t>0, sujeita às condições de contorno
u(0,t)=u(\pi,t)=0
e às condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad u_{t}(x,0)=0,
no caso f(x)=\sin^{3}x.
O método de separação de variáveis envolve:
  1. assumir u(x,t)=X(x)\,T(t),
  2. obter os autovalores e autofunções de X''+\lambda X=0 com X(0)=X(\pi)=0,
  3. montar a série geral usando modos \sin(nx),
  4. aplicar as condições iniciais para determinar coeficientes.

Passo 2

Seja u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{tt}=u_{xx} e dividindo por XT
\frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.
O problema de Sturm–Liouville em X é
X'' + \lambda X = 0,\quad X(0)=0,\;X(\pi)=0,
cuja solução não trivial ocorre em \lambda_n = n^2 com autofunções
X_n(x) = \sin(nx),\quad n=1,2,3,\dots
O correspondente em T satisfaz
T_n'' + n^2 T_n = 0\;\Longrightarrow\;T_n(t) = A_n\cos(nt) + B_n\sin(nt).

Passo 3

A solução geral é
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(nt) + B_n\sin(nt)\Bigr)\sin(nx).
Aplicando u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=0:
  • Em t=0:
u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(nx) = f(x).
  • Derivando em t e avaliando em 0:
u_t(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}n\,B_n\sin(nx) = 0 \;\Longrightarrow\;B_n=0\quad\forall n.
Logo
u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(nt)\,\sin(nx),
com
A_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Para f(x)=\sin^{3}x usamos a identidade trigonométrica
\sin^{3}x = \frac{3\sin x - \sin(3x)}{4}.
Logo a série de Fourier em senos tem apenas termos n=1 e n=3:
f(x) = \frac{3}{4}\sin(x) \;-\;\frac{1}{4}\sin(3x).
Comparando com \displaystyle \sum A_n\sin(nx), vemos
A_{1} = \frac{3}{4},\quad A_{3} = -\frac{1}{4}, \quad A_n = 0\\ (n\neq1,3).
Assim
u(x,t) = \frac{3}{4}\sin(x)\cos(t)\;-\;\frac{1}{4}\sin(3x)\cos(3t).

Resposta

u(x,t) = \frac{3}{4}\,\sin(x)\,\cos(t) - \frac{1}{4}\,\sin(3x)\,\cos(3t).

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