Verifique que
integral e^2 / xx^2 d x=-12 e^2 / x+c integral e^2 x cos (e^2 x) d x=12 sin (e^2 x)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as antiderivadas abaixo estão corretas. O conteúdo é cálculo de integrais por substituição simples, em que reconhecemos uma parte da derivada interna multiplicando a função externa.

Passo 2

Para a primeira integral
integral e^2/xx^2,dx,
fazemos a substituição
u = 2x Longrightarrow du = -2x^2,dx Longrightarrow e^2/xx^2,dx = -tfrac12 e^u,du
Logo,
integral e^2/xx^2,dx = integral l(-tfrac12 e^ur),du = -tfrac12 e^u + C = -tfrac12 e^2/x + C

Passo 3

Para a segunda integral
integral e^2xcosl(e^2xr),dx,
usamos a substituição
v = e^2x Longrightarrow dv = 2e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = tfrac12,dv
Assim,
integral e^2xcosl(e^2xr),dx = integral cos(v),tfrac12,dv = tfrac12integral cos(v),dv = tfrac12sin(v) + C = tfrac12sinl(e^2xr) + C

Resposta

integral e^2/xx^2,dx = -tfrac12 e^2/x + C, integral e^2xcosl(e^2xr),dx = tfrac12sinl(e^2xr) + C

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