Use o método de substituição para determinar as seguintes integrais
integral 1x^2+25 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2+25,dx
usando método de substituição. Aqui é comum usar substituição trigonométrica, pois x^2+25 lembra a^2+tan^2theta. Vamos escolher x=5tantheta.

Passo 2

Fazendo
x = 5tantheta, dx = 5sec^2theta,dtheta, x^2 + 25 = 25tan^2theta + 25 = 25sec^2theta,
a integral fica
integral 1x^2+25,dx = integral 125sec^2theta;l(5sec^2theta,dthetar) = integral 525,dtheta = integral 15,dtheta

Passo 3

Agora integramos em theta:
integral 15,dtheta = theta5 + C

Passo 4

Volta para a variável x. Como
theta = arctan!l(x5r),
temos
theta5 + C = 15,arctan!l(x5r) + C

Resposta

integral 1x^2+25,dx = 15,arctan!l(x5r) + C

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