Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, pessoal, a gente tem essa série aqui:
. O que a gente precisa descobrir é se essa série converge, ou seja, se ela soma até um número finito, ou diverge, somando infinito. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e comparações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando
fica grande. No numerador, temos
, que para valores grandes de
, é dominado por
. No denominador, temos
, que para
grande, é bem parecido com
.
Passo 3
Com isso, podemos simplificar a expressão da razão para analisar o comportamento:
Então, para
grande, o termo da série se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Agora, vamos comparar essa série com a série
, que é uma série p com
. Sabemos que séries p convergem apenas quando
. Como
, essa série diverge.
Passo 5
Usando o Teste de Comparação, já que os termos da nossa série original são, para
grande, maiores ou iguais aos termos da série divergente
, podemos concluir que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.