Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta.
sumn=1^infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5

Passo 1

Então, pessoal, a gente tem essa série aqui: sumn=1^infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5. O que a gente precisa descobrir é se essa série converge, ou seja, se ela soma até um número finito, ou diverge, somando infinito. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e comparações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando n fica grande. No numerador, temos 2n^2 + 3n , que para valores grandes de n , é dominado por 2n^2 . No denominador, temos raiz5 + n^5 , que para n grande, é bem parecido com raizn^5 = n^5/2 .

Passo 3

Com isso, podemos simplificar a expressão da razão para analisar o comportamento:
2n^2 + 3nraiz5 + n^5 approx 2n^2n^5/2 = 2n^1/2
Então, para n grande, o termo da série se comporta aproximadamente como 2n^1/2 .

Passo 4

Agora, vamos comparar essa série com a série sumn=1^infty 1n^1/2 , que é uma série p com p = 12 . Sabemos que séries p convergem apenas quando p > 1 . Como 12 <= 1 , essa série diverge.

Passo 5

Usando o Teste de Comparação, já que os termos da nossa série original são, para n grande, maiores ou iguais aos termos da série divergente 1n^1/2 , podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5 diverge.

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