Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta.
sumn=1^infty 12+3^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty12+3^n
O conteúdo é critério de comparação para séries de termos positivos. Vamos comparar com a série geométrica de razão tfrac13.

Passo 2

Observe que, para todo n>=1, temos
2+3^n>3^n Longrightarrow 12+3^n<13^n
Logo a n-ésima termo da série dada é menor que o termo correspondente da série geométrica sumn=1^infty13^n.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica
sumn=1^infty13^n
converge pois sua razão tfrac13 satisfaz |tfrac13|<1.

Passo 4

Pelo critério da comparação simples, como
0<=12+3^n<13^n
e sumn=1^infty13^n converge, então
sumn=1^infty12+3^n
converge também.

Resposta

A série converge por comparação com a série geométrica de razão tfrac13.

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