Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
3 x^2+5 x+4=2 raiz3 x^2+5 x+7

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver para xinR a equação
3x^2+5x+4 = 2raiz3x^2+5x+7
usando mudança de variável. O conteúdo aqui envolve isolar uma raiz quadrada e transformar em uma equação polinomial.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
t = raiz3x^2+5x+7,
com t>=0. Então
3x^2+5x = t^2-7
e a equação original 3x^2+5x+4=2t vira
t^2-7 +4 = 2t Longrightarrow t^2 - 2t - 3 = 0
Resolvendo esse polinômio do segundo grau,
t = 2 pm raiz4 +122 = 2 pm 42,
logo t=3 ou t=-1. Como t>=0, descartamos t=-1 e mantemos t=3.

Passo 3

Voltando à variável original,
raiz3x^2+5x+7 = 3 Longrightarrow 3x^2+5x+7 = 9 Longrightarrow 3x^2+5x-2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = -5 pm raiz5^2 -4cdot3cdot(-2)2cdot3 = -5 pm raiz25+246 = -5 pm 76,
resultando em
x = 26 = 13 ou x = -126 = -2

Passo 4

Por fim, verificamos que ambos os valores, x=-2 e x=tfrac13, de fato satisfazem a equação original (cada lado vale 6), confirmando que são soluções válidas.

Resposta

As soluções da equação são -2,tfrac13.

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