Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
raizx^2+3 x+6-3 x=x^2+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raizx^2+3x+6-3x = x^2+4
para xinR, usando mudança de variável. O conteúdo aqui é equação radical: vamos isolar o radical, fazer uma substituição que transforma em uma equação mais simples e depois voltar para x.

Passo 2

Isolando o radical, temos
raizx^2+3x+6 = x^2+4 + 3x = x^2+3x+4
Repare que fizemos apenas soma de 3x aos dois lados para deixar o lado direito como x^2+3x+4.

Passo 3

Agora introduzimos a mudança de variável
y = x^2 + 3x + 4
Com isso, o radicando fica
x^2+3x+6 = (x^2+3x+4) + 2 = y + 2,
e a equação isolada em Passo 2 vira
raizy+2 = y

Passo 4

Para resolver raizy+2 = y, exigimos primeiro y>=0 (porque a raiz quadrada é não negativa). Em seguida, elevamos ao quadrado:
y+2 = y^2 Longrightarrow y^2-y-2=0
Essa é uma equação quadrática em y.

Passo 5

Resolvendo y^2-y-2=0 pelo trinômio, obtemos
y = 2 ou y = -1
Mas como precisamos de y>=0 e também raizy+2=y (o lado esquerdo é não negativo), só vale y=2. O caso y=-1 falha em raiz-1+2=1neq -1.

Passo 6

Voltando à variável x, temos de
x^2+3x+4 = y = 2 Longrightarrow x^2+3x+2=0 Longrightarrow (x+1)(x+2)=0
Logo as soluções candidatas são x=-1 e x=-2. Basta agora checar na equação original que ambas satisfazem (não surgem extranos ao elevar ao quadrado).

Resposta

x = -1 ou x = -2

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