Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
x^2+raizx^2-4 x-1=4 x+7

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2 + raizx^2 - 4x - 1 ;=; 4x + 7
para xinR. O conteúdo aqui é resolução de equação com raiz quadrada, então vamos primeiro identificar o domínio onde o radicando é não-negativo e depois usar uma mudança de variável para eliminar a raiz.

Passo 2

Precisamos que o radicando satisfaça
x^2 - 4x - 1 >= 0
Resolvendo x^2 - 4x - 1 = 0 obtemos as raízes
x = 4 pm raiz16 + 42 = 2 pm raiz5,
logo o domínio é
x <= 2 - raiz5 ou x >= 2 + raiz5

Passo 3

Fazemos a substituição
t = raizx^2 - 4x - 1,
de modo que a equação vira
x^2 + t = 4x + 7 Longrightarrow t = 4x + 7 - x^2,
com a obrigatoriedade t >= 0.

Passo 4

Elevando ao quadrado t^2 = x^2 - 4x - 1 e substituindo t temos
l(4x + 7 - x^2r)^2 = x^2 - 4x - 1
Para simplificar, definimos
y = x^2 - 4x - 7,
então x^2 - 4x - 1 = y + 6 e a equação fica
y^2 = y + 6 Longrightarrow y^2 - y - 6 = 0 Longrightarrow (y - 3)(y + 2) = 0
Logo y = 3 ou y = -2.
  • Se y = 3: x^2 - 4x - 7 = 3 x^2 - 4x - 10 = 0, cujas raízes são x = 2 pm raiz14
  • Se y = -2: x^2 - 4x - 7 = -2 x^2 - 4x - 5 = 0, cujas raízes são x = 4 pm raiz362 = 5ou -1
Assim, os candidatos são
x = 2 pm raiz14, x = 5, x = -1

Passo 5

Agora verificamos domínio e t>=0.
  1. Domínio: x<=2-raiz5approx-0,236 ou x>=2+raiz5approx4,236.
    • 2pmraiz14approx5,74 e -1,74 estão no domínio.
    • 5 e -1 também estão no domínio.
  2. Sinal de t=4x+7-x^2:
    • Para x=2pmraiz14 resulta t<0, rejeitamos.
    • Para x=5 temos t=27-25=2>=0.
    • Para x=-1 temos t=3-1=2>=0.
Portanto as únicas soluções que satisfazem tudo são
x = -1 e x = 5

Resposta

x = -1 e x = 5

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