Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
5 raizx^2-x-3=x^2-x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
5 raizx^2 - x - 3 ;=; x^2 - x + 3
O conteúdo é equação com radical e vamos usar mudança de variável para simplificar.

Passo 2

Para que a raiz exista, precisamos de
x^2 - x - 3 >= 0
Definimos a troca de variável
t = x^2 - x - 3,
o que já implica t >= 0. Isso vai deixar a equação numa forma mais fácil.

Passo 3

Substituindo na equação original, fica
5 raizt = t + 6
Como raizt>=0, fazemos outra troca
u = raizt, u >= 0,
para eliminar a raiz.

Passo 4

Em função de u, nossa equação vira
5u = u^2 + 6 Longrightarrow u^2 - 5u + 6 = 0
Resolvendo o trinômio, obtemos
u = 2 ou u = 3
Logo
t = u^2 = 4 ou t = 9

Passo 5

Voltando a x, resolvemos dois casos:
x^2 - x - 3 = 4 Longrightarrow x^2 - x - 7 = 0 Longrightarrow x = 1 pm raiz292,
e
x^2 - x - 3 = 9 Longrightarrow x^2 - x - 12 = 0 Longrightarrow x = 1 pm 72,
isto é, x = 4 ou x = -3.

Passo 6

Para cada uma dessas quatro soluções, x^2 - x - 3 vale 4 ou 9, ambos não negativos. Logo todas respeitam o domínio e são válidas.

Resposta

As soluções são
x = 1 + raiz292, x = 1 - raiz292, x = 4, x = -3

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