Use mudança de variáveis para resolver as equações abaixo, para x in R.
x^2+4 raizx^2-2 x-6=2 x+3

Passo 1

A equação que temos é
x^2 + 4 raizx^2 - 2x - 6 = 2x + 3
Isso envolve equação com raiz quadrada e vamos usar mudança de variável; precisamos primeiro identificar o domínio onde a raiz está bem definida.

Passo 2

Para a raiz existir, o radicando deve satisfazer
x^2 - 2x - 6 >= 0
Resolvendo a inequação quadrática, encontramos as raízes em x = 1 \pm \sqrt{7}. Então o domínio é
x <= 1 - raiz7ou x >= 1 + raiz7

Passo 3

Definimos a mudança de variável
t = raizx^2 - 2x - 6, t >= 0,
de modo que
t^2 = x^2 - 2x - 6
e a equação original vira
x^2 + 4t = 2x + 3

Passo 4

Da igualdade t^2 = x^2 - 2x - 6 isolamos x^2:
x^2 = t^2 + 2x + 6
Substituímos esse x^2 em x^2 + 4t = 2x + 3 e simplificamos:
(t^2 + 2x + 6) + 4t = 2x + 3
Cancelando 2x de ambos os lados e reunindo termos em t, obtemos
t^2 + 4t + 3 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação do segundo grau para t:
t^2 + 4t + 3 = 0 Longrightarrow t = -1 ou t = -3
Como t é uma raiz quadrada, exige-se t >= 0. Nem -1 nem -3 satisfazem, então não há valor real de t que resolva o sistema.

Passo 6

Como não existe t>=0 que satisfaça a equação, concluímos que não há nenhum x real no domínio que resolva a equação original.

Resposta

Não existem soluções reais.

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