Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas, onde todos os pivôs sejam 1.
(cccc1 & 2 & -3 & 1 -1 & 0 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 0 & -3)

Passo 1

O enunciado pede para usar operações elementares de linha sobre a matriz
A = 1 & 2 & -3 & 1 -1 & 0 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 0 & -3
para obter (i) a forma escalonada por linhas com todos os pivôs iguais a 1 e (ii) a forma escalonada reduzida por linhas. O conteúdo é eliminação de Gauss e Gauss–Jordan.

Passo 2

Primeiro, eliminamos tudo abaixo do pivô em (1,1). Como já temos a11=1, fazemos
R2 R2 + R1, R4 R4 - 2,R1
Isso leva a
1 & 2 & -3 & 1 0 & 2 & 0 & 5 0 & 1 & 2 & -1 0 & -1 & 6 & -5

Passo 3

Agora usamos o pivô em (2,2), que vale 2, para zerar as entradas embaixo. Aplicamos
R3 R3 - tfrac12,R2, R4 R4 + tfrac12,R2,
obtendo
1 & 2 & -3 & 1 0 & 2 & 0 & 5 0 & 0 & 2 & -tfrac72 0 & 0 & 6 & -tfrac52
Em seguida, para zerar abaixo do pivô em (3,3), fazemos
R4 R4 - 3,R3,
resultando em
1 & 2 & -3 & 1 0 & 2 & 0 & 5 0 & 0 & 2 & -tfrac72 0 & 0 & 0 & 8

Passo 4

Escalonamos cada linha para que o pivô fique igual a 1:
R2 tfrac12,R2, R3 tfrac12,R3, R4 tfrac18,R4
A forma escalonada por linhas com pivôs iguais a 1 é
1 & 2 & -3 & 1 0 & 1 & 0 & tfrac52 0 & 0 & 1 & -tfrac74 0 & 0 & 0 & 1

Passo 5

Para chegar à forma escalonada reduzida, eliminamos acima de cada pivô começando de baixo para cima:
  1. Com o pivô em (4,4), zeramos em cima:
    R1 R1 - R4,; R2 R2 - tfrac52,R4,; R3 R3 + tfrac74,R4
  2. Com o pivô em (3,3), zeramos acima:
    R1 R1 + 3,R3
  3. Com o pivô em (2,2), zeramos acima:
    R1 R1 - 2,R2
O resultado final é
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

(i) Forma escalonada por linhas com pivôs iguais a 1:
1 & 2 & -3 & 1 0 & 1 & 0 & tfrac52 0 & 0 & 1 & -tfrac74 0 & 0 & 0 & 1
(ii) Forma escalonada reduzida por linhas:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

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