Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas, onde todos os pivôs sejam 1.
(ccccc2 & -1 & 0 & 1 & 4 1 & -2 & 1 & 4 & -3 5 & -4 & 1 & 6 & 5 -7 & 8 & -3 & -14 & 1)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 2 & -1 & 0 & 1 & 4 1 & -2 & 1 & 4 & -3 5 & -4 & 1 & 6 & 5 -7 & 8 & -3 & -14 & 1
e pede (i) forma escalonada por linhas com todos os pivôs iguais a 1 e (ii) forma escalonada reduzida por linhas (Gauss–Jordan). Vamos usar operações elementares (trocas de linhas, multiplicação de linha por escalar e soma de múltiplos de linhas) para chegar às duas formas.

Passo 2

Primeiro, obtemos o pivô 1 na primeira coluna trocando R1rightarrow R2 e, em seguida, eliminamos abaixo:
R2>=ts R2-2R1,;R3>=ts R3-5R1,;R4>=ts R4+7R1.
Isso leva a
1 & -2 & 1 & 4 & -3 0 & 3 & -2 & -7 & 10 0 & 6 & -4 & -14 & 20 0 & -6 & 4 & 14 & -20

Passo 3

Agora o pivô em (2,2) vale 3. Fazemos R2>=ts tfrac13R2 para torná-lo 1 e eliminamos abaixo:
R3>=ts R3-6R2,;R4>=ts R4+6R2.
Obtém-se
1 & -2 & 1 & 4 & -3 0 & 1 & -tfrac23 & -tfrac73 & tfrac103 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

A matriz do Passo 3 já está em forma escalonada por linhas com pivôs iguais a 1. Logo, a resposta para (i) é
(i) Escalonada por linhas: 1 & -2 & 1 & 4 & -3 0 & 1 & -tfrac23 & -tfrac73 & tfrac103 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Para a forma escalonada reduzida por linhas, eliminamos também acima do pivô em (2,2):
R1>=ts R1+2R2.
Isso leva a
1 & 0 & -tfrac13 & -tfrac23 & tfrac113 0 & 1 & -tfrac23 & -tfrac73 & tfrac103 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
que já tem pivô 1 em cada coluna de pivô e zeros em todas as outras posições dessas colunas.

Resposta

(i) Forma escalonada por linhas:
1 & -2 & 1 & 4 & -3 0 & 1 & -tfrac23 & -tfrac73 & tfrac103 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
(ii) Forma escalonada reduzida por linhas:
1 & 0 & -tfrac13 & -tfrac23 & tfrac113 0 & 1 & -tfrac23 & -tfrac73 & tfrac103 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

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