Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral, ou explique por que ela não existe.
integral1^3(x-2)(x+3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a integral definida de (x-2)(x+3) de 1 a 3 usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Então, vamos trabalhar com cálculo integral e aplicar o teorema para achar o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Isso vai facilitar a hora de integrar. Vamos multiplicar os termos (x-2) e (x+3) :
(x-2)(x+3) = x cdot x + x cdot 3 - 2 cdot x - 2 cdot 3 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6
Agora, a integral fica mais simples:
integral1^3 (x^2 + x - 6) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C .
Integrando termo a termo:
integral x^2 , dx = x^33
integral x , dx = x^22
integral -6 , dx = -6x
Então, a antiderivada de x^2 + x - 6 é:
x^33 + x^22 - 6x

Passo 4

Agora, aplicamos a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que para uma função contínua f em [a, b], a integral definida é:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde F é uma antiderivada de f .
Então, vamos calcular F(3) e F(1) :
F(x) = x^33 + x^22 - 6x
Calculando em x = 3 :
F(3) = 3^33 + 3^22 - 6 cdot 3 = 273 + 92 - 18 = 9 + 4,5 - 18 = -4,5
Calculando em x = 1 :
F(1) = 1^33 + 1^22 - 6 cdot 1 = 13 + 12 - 6 = 56 - 6 = -316

Passo 5

Finalmente, subtraímos F(1) de F(3) para encontrar o valor da integral:
integral1^3 (x-2)(x+3) , dx = F(3) - F(1) = -4,5 - (-316) = -4,5 + 316
Convertendo -4,5 para sexta:
-4,5 = -92 = -276
Então:
-276 + 316 = 46 = 23

Resposta

A integral definida de (x-2)(x+3) de 1 a 3 é 23 .

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