Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral, ou explique por que ela não existe.
integral0^1(5 cos x+4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1l(5cos x + 4xr),dx
usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Essa parte diz que, se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f em [a,b], então
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a)
Aqui f(x)=5cos x+4x, que é contínua em [0,1], logo podemos aplicar o teorema.

Passo 2

Verificamos que cada parcela de f(x)=5cos x+4x é contínua em [0,1]:
  • cos x é contínua em todo R,
  • x é contínua em todo R.
    Logo f é contínua em [0,1] e a integral existe.

Passo 3

Encontrar uma antiderivada F(x) de f(x). Fazendo separadamente:
integral 5cos x,dx = 5sin x e integral 4x,dx = 2x^2.
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = 5sin x + 2x^2

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2, avaliando F em 1 e em 0:
integral0^1l(5cos x + 4xr),dx = F(1) - F(0) = l(5sin 1 + 2cdot1^2r) - l(5sin 0 + 2cdot0^2r) = 5sin 1 + 2

Resposta

5sin 1 + 2

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