Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral, ou explique por que ela não existe.
integral1^2(x+1x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^2l(x+1xr)^2dx
usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso precisamos encontrar uma primitiva de l(x+1/xr)^2 e depois avaliar nos limites de 1 a 2.

Passo 2

Primeiro expandimos o integrando usando a identidade do quadrado de soma:
l(x+1xr)^2 = x^2 + 2cdot xcdot1x + 1x^2 = x^2 + 2 + x^-2

Passo 3

Agora integramos termo a termo para obter uma primitiva F(x):
integral x^2dx = x^33, integral 2,dx = 2x, integral x^-2dx = -,x^-1
Logo podemos escolher
F(x) = x^33 + 2x - 1x

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Parte 2,
integral1^2l(x+1xr)^2dx = F(2) - F(1)
Calculamos
F(2) = 2^33 + 2cdot2 - 12 = 83 + 4 - 12 = 16 + 24 - 36 = 376,
F(1) = 1^33 + 2cdot1 - 1 = 13 + 2 - 1 = 13 + 1 = 43 = 86
Portanto
integral1^2l(x+1xr)^2dx = 376 - 86 = 296

Resposta

296

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