Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral, ou explique por que ela não existe.
integral1^8 x-1raiz[3]x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede usar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar
integral1^8 x-1raiz[3]x^2,dx.
Vamos lembrar que, se F'(x)=f(x) em [a,b], então
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a),
e usaremos a regra de potência para encontrar uma primitiva de f(x)=x-1raiz[3]x^2.

Passo 2

Simplificamos o integrando:
x-1raiz[3]x^2 = xx^2/3 ;-; 1x^2/3 = x^1-tfrac23 ;-; x^-tfrac23 = x^1/3 ;-; x^-2/3

Passo 3

Calculamos uma primitiva F(x) de x^1/3-x^-2/3:
integral x^1/3,dx = x^4/3tfrac43 = 34,x^4/3, integral x^-2/3,dx = x^1/3tfrac13 = 3,x^1/3
Portanto
F(x) = 34,x^4/3 ;-; 3,x^1/3

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral1^8 x-1raiz[3]x^2,dx = F(8) - F(1)
Calculando
F(8) = 34cdot 8^4/3 - 3cdot 8^1/3 = 34cdot16 - 3cdot2 =12 -6 =6,
F(1) = 34cdot1^4/3 - 3cdot1^1/3 = 34 -3 = -94
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integral1^8 x-1raiz[3]x^2,dx = 6 - l(-94r) = 334

Resposta

334

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