Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo: g(x)=integralraizx^2 x arctg t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções definidas por integrais. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais onde os limites dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra de Leibniz. Ela diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que a derivada da integral é igual à função dentro da integral avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites.

Passo 3

No nosso caso, temos:
g(x) = integralraizx^2x arctan(t) , dt
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de a'(x) = ddx raizx = 12raizx e b'(x) = ddx 2x = 2 :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de Leibniz:
g'(x) = arctan(b(x)) cdot b'(x) - arctan(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo g'(x) = arctan(2x) cdot 2 - arctan(raizx) cdot ( 12raizx ) e :

Passo 6

Simplificando a expressão:
g'(x) = 2 arctan(2x) - arctan(raizx)2raizx

Resposta

A derivada da função g'(x) = 2, arctan(2x) - arctan(raizx)2raizx é:

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