Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
raiz8,97

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar raiz8,97 usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de um ponto conveniente (aqui a=9) e estimar o erro com a fórmula de Taylor com resto de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função f(x)=raizx. Calculamos as derivadas necessárias até a terceira ordem:
f'(x)=12raizx, f''(x)=-14x^3/2, f'''(x)=38x^5/2

Passo 3

Escolhemos o ponto de expansão a=9 e definimos o desvio h=x-a. Aqui x=8,97 então h=8,97-9=-0,03.

Passo 4

Calculamos os valores das derivadas em a=9:
f(9)=3, f'(9)=12cdot3=16, f''(9)=-14cdot9^3/2=-1108

Passo 5

Escrevemos o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=9:
P2(9+h)=f(9)+f'(9)h+f''(9)2h^2
Substituindo os valores:
$$P_2(8,97)=3+\frac{1}{6}(-0,03)+\frac{-1/108}{2}(-0,03)^2.
$$

Passo 6

Aproximamos numericamente cada termo:
$$\frac{1}{6}(-0,03)=-0,005,\quad \frac{-1/108}{2}(0,0009)=-4{,}1667\times10^{-6}.
16(-0,03)=-0,005, -1/1082(0,0009)=-4,1667times10^-6 P_2(8,97)\approx3-0,005-0,0000041667=2,9949958333.$$

Passo 7

Estimamos o resto usando Lagrange:
R2=f'''(xi)6h^3
para algum xi entre 8,97 e 9. Como f'''(x)=3/(8x^5/2) é decrescente, seu maior valor ocorre em x=8,97. Assim
|R2|<=16cdot38,(8,97)^5/2cdot|-0,03|^3

Passo 8

Calculamos o limite superior do erro:
(8,97)^5/2approx240,99Longrightarrow38,(8,97)^5/2approx0,001556,
|R2|<=0,0015566cdot0,000027approx7,0times10^-9
Ou seja, o erro na aproximação é menor que 7times10^-9.

Resposta

raiz8,97approx2,9949958333 com erro menor que 7times10^-9.

Exercícios relacionados