Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos aproximar
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de um ponto conveniente (aqui
) e estimar o erro com a fórmula de Taylor com resto de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função
. Calculamos as derivadas necessárias até a terceira ordem:
Passo 3
Escolhemos o ponto de expansão
e definimos o desvio
. Aqui
então
.
Passo 4
Calculamos os valores das derivadas em
:
Passo 5
Escrevemos o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
:
Substituindo os valores:
$$P_2(8,97)=3+\frac{1}{6}(-0,03)+\frac{-1/108}{2}(-0,03)^2.
$$
Passo 6
Aproximamos numericamente cada termo:
$$\frac{1}{6}(-0,03)=-0,005,\quad \frac{-1/108}{2}(0,0009)=-4{,}1667\times10^{-6}.
Passo 7
Estimamos o resto usando Lagrange:
para algum
Passo 8
Calculamos o limite superior do erro:
Ou seja, o erro na aproximação é menor que