Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:

Passo 1

O exercício pede para aproximar cosl(tfracpi2+0,05r) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=tfracpi2 e estimar o erro pelo resto de Lagrange. Definimos a função f(x)=cos(x), o ponto de expansão a=tfracpi2 e o deslocamento h=0,05, de modo que desejamos f(a+h).

Passo 2

Calculamos as derivadas em a:
f(a)=cosl(tfracpi2r)=0,
f'(a)=-sinl(tfracpi2r)=-1,
f''(a)=-cosl(tfracpi2r)=0

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 é
T2(a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(a)2h^2=-1cdot h=-0,05

Passo 4

Para estimar o erro, usamos o resto de Lagrange de ordem 2:
R2=f^(3)(xi)6,h^3com f^(3)(x)=sin(x) e algum xiin[a,a+h]
Como |sin(xi)|<=1, temos
|R2|<=|h|^36=(0,05)^36approx2,0833times10^-5

Passo 5

Logo, a aproximação de cos(tfracpi2+0,05) é -0,05 com erro máximo estimado em aproximadamente 2,1times10^-5.

Resposta

-0,05 com erro estimado de até 2,1times10^-5.

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